Розглянемо систему матеріальних точок, кожна з яких може якось переміщатися, залишаючись в одній із площин, що проходять через загальну вісь z (рис. 99).
Усі площини можуть обертатися навколо цієї осі з однаковою кутовою швидкістю?
Згідно з формулою (11.6) тангенціальна складова швидкості i-ї точки може бути подана у вигляді:
де Ri - перпендикулярна до осі z складова радіус-вектора r i [її модуль Ri дає відстань точки від осі z]. Підставивши це значення v i у формулу (37.4), отримаємо вираз для моменту імпульсу точки щодо осі z:
[ми користувалися співвідношенням (11.3); вектори R i , і взаємно перпендикулярні].
Просумувавши цей вираз по всіх точках і винісши загальний множник за знак суми, знайдемо для моменту імпульсу системи щодо осі z наступне вираз:
рівна сумі творів мас матеріальних точок на квадрати їх відстаней від осі z, називається моментом інерції системи матеріальних точок щодо осі z (окремо взяте доданок є момент інерції i-ї матеріальної точки щодо осі z).
З урахуванням (38.2) вираз (38.1) набуває вигляду:
яке є основним рівнянням динаміки обертального руху. За формою воно схоже з рівнянням другого закону Ньютона:
У § 35 ми вже зазначали, що абсолютно тверде тіло можна розглядати як систему матеріальних точок із незмінними відстанями між ними. Для такої системи момент інерції I z щодо фіксованої осі z є постійна величина. Отже, рівняння (38. 4) переходить для абсолютно твердого тіла до рівняння:
|
(3 8.5) |
де β=ω - кутове прискорення тіла, М z - результуючий момент зовнішніх сил, що діють на тіло.
Рівняння (38.5) схоже формою на рівняння:
Зіставивши рівняння динаміки обертального руху з рівняннями динаміки поступального руху, легко помітити, що при обертальному русі роль сили відіграє момент сили, роль маси – момент інерції тощо (табл. 2)
Таблиця 2
|
Поступальний рух |
Обертальний рух |
|
mw=f p=mv f – сила m – маса v – лінійна швидкість w – лінійне прискорення p - імпульс |
I z β=M z L z =I z ω M та M z – момент сили I z – момент інерції ω – кутова швидкість β – кутове прискорення L – момент імпульсу |
Поняття моменту сили та моменту інерції було введено на основі розгляду обертання твердого тіла. Проте слід пам'ятати, що це величини існують безвідносно до обертання. Так, наприклад, будь-яке тіло, незалежно від того, обертається воно або спочиває, має певний момент інерції щодо будь-якої осі, подібно до того як тіло має масу незалежно від стану свого руху. Момент сили також існує незалежно від того, обертається тіло навколо осі, щодо якої береться момент, чи спочиває. В останньому випадку момент сили, що розглядається, очевидно, врівноважується моментами інших сил, що діють на тіло.
З рівняння (З8.5) випливає, що з рівності нулю результуючого моменту всіх зовнішніх сил тіло обертається з кутовою швидкістю. Якщо момент інерції тіла може змінюватися внаслідок зміни взаємного розташування окремих частин тіла, при М z = 0 залишається постійним добуток I z ω [див. (38.4) та зміна моменту інерції I z тягне за собою відповідну зміну кутової швидкості ω. Цим пояснюється звичайно демонстроване явище, що полягає в тому, що людина, що стоїть на лаві, що крутиться, розводячи руки в сторони, починає обертатися повільніше, а, притискаючи руки до тулуба, починає обертатися швидше.
Розглянемо систему, що з двох дисків, мають загальну вісь обертання (рис. 100).
Між припливами дисків помістимо стиснуту пружину і зв'яжемо ці припливи ниткою. Якщо перепалити нитку, то під дією пружини, що розтиснулася, обидва диски прийдуть у обертання в протилежних напрямках. Моменти імпульсу, які придбають диски, будуть рівними за величиною, але протилежні за напрямом:
так що сумарний момент імпульсу системи залишиться, як і раніше, рівним нулю.
Подібним чином і справа у випадку зображеної на рис. 101 системи, що складається з двох дисків з осями, що не збігаються, укріпленими в рамі, яка може вільно обертатися навколо осі симетрії системи.
Якщо перепалити нитку, що стягує припливи на дисках, між якими закладена стиснута пружина, диски прийдуть у обертання, причому, як легко бачити, однаково. Одночасно рама почне обертатися в протилежний бік, тому повний момент імпульсу системи як цілого залишиться рівним нулю.
У обох розглянутих вище прикладах обертання окремих елементів системи виникало під впливом внутрішніх сил. Отже, внутрішні сили, що діють між тілами системи, можуть спричинити зміни моментів імпульсу окремих частин системи. Однак ці зміни будуть завжди такими, що сумарний момент імпульсу системи як цілого залишається без змін. Повний момент імпульсу системи може змінюватись лише під впливом зовнішніх сил.
Динаміка обертального руху твердого тіла.
Момент інерції.
Момент сили. Основне рівняння динаміки обертального руху.
Момент імпульсу.
Момент інерції.
(Розглянемо досвід з циліндрами, що скочуються.)
При розгляді обертального руху необхідно запровадити нові поняття: момент інерції, момент сили, момент імпульсу.
Момент інерції є мірою інертності тіла під час обертального руху тіла навколо нерухомої осі.
Момент інерціїматеріальної точки щодо нерухомої осі обертання дорівнює добутку її маси на квадрат відстані до осі обертання, що розглядається (рис.1):
Залежить лише від маси матеріальної точки та її положення щодо осі обертання та не залежить від наявності самого обертання.
Момент інерції - скалярна та адитивна величина
Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції всіх його точок.
.
У разі безперервного розподілу маси ця сума зводиться до інтегралу:
,
де – маса малого об'єму тіла, – щільність тіла, – відстань від елемента до осі обертання.
Момент інерції є аналогом маси при обертальному русі. Чим більший момент інерції тіла, тим важче змінити кутову швидкість тіла, що обертається. Момент інерції має сенс лише за заданому положенні осі обертання.
Безглуздо говорити просто про “момент інерції”. Він залежить:
1) від положення осі обертання;
2) від розподілу маси тіла щодо осі обертання, тобто. від форми тіла та його розмірів.
Експериментальним доказом цього є досвід з циліндрами, що скочуються.
Провівши інтегрування для деяких однорідних тіл, можна отримати такі формули (вісь обертання проходить через центр мас тіла):
Момент інерції обруча (товщиною стін нехтуємо) або порожнистого циліндра:
Момент інерції диска або суцільного циліндра радіусу R:
Момент інерції кулі
Момент інерції стрижня
Е 
Якщо для тіла відомий момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас, то момент інерції щодо будь-якої осі, паралельної першої, знаходиться по теоремі Штейнера: момент інерції тіла щодо довільної осі дорівнює моменту інерції J 0 щодо осі, паралельної даної та проходить через центр мас тіла, складеному з добутком маси тіла на квадрат відстані між осями.
де dвідстань від центру мас до осі обертання.
Центр мас - уявна точка, становище якої характеризує розподіл маси даного тіла. Центр мас тіла рухається так само, як рухалася б матеріальна точка тієї ж маси під дією всіх зовнішніх сил, що діють дане тіло.
Поняття моменту інерції було введено в механіку вітчизняним вченим Л. Ейлером у середині XVIII століття і з того часу широко використовується при вирішенні багатьох завдань динаміки твердого тіла. Значення моменту інерції необхідно знати на практиці при розрахунку різних вузлів і систем, що обертаються (маховиків, турбін, роторів електродвигунів, гіроскопів). Момент інерції входить у рівняння руху тіла (корабля, літака, снаряда тощо). Його визначають коли хочуть дізнатися параметри обертального руху літального апарату навколо центру мас при дії зовнішнього обурення (пориву вітру і т.п.). Для тіл змінної маси (ракети) з часом змінюється маса та момент інерції.
2 . Момент сили.
Одна і та ж сила може повідомляти тілу, що обертається, різні кутові прискорення в залежності від її напрямку і точки додатка. Для характеристики дії, що обертає, сили вводять поняття моменту сили.
Розрізняють момент сили щодо нерухомої точки та відносно нерухомої осі. Моментом сили щодо точки О (полюса) називається векторна величина, що дорівнює векторному добутку радіус-вектора проведеного з точки О в точку докладання сили, на вектор сили:
Той, хто пояснює це визначення рис. 3 виконаний у припущенні, що точка Про вектор лежать у площині креслення, тоді вектор так само розташовується в цій площині, а вектор до неї і направлений від нас (як векторний добуток 2-х векторів; за правилом правого буравчика).
Модуль моменту сили чисельно дорівнює добутку сили на плече:
де - плече сили щодо точки О, - кут між напрямками та, 
.
Плечо – найкоротша відстань від центру обертання до лінії дії сили.
Вектор моменту сили сонаправлен з поступальним рухом правого буравчика, якщо його рукоятку обертати за напрямом дії сили, що обертає. Момент сили - аксіальний (вільний) вектор, він спрямований уздовж осі обертання, не пов'язаний з певною лінією дії, його можна переносити в
просторі паралельно самому собі.
Моментом сили щодо нерухомої осі Z називається проекція вектора на цю вісь (що проходить через точку О).
Е 
якщо на тіло діють кілька сил, то результуючий момент сил відносно нерухомої осі Z дорівнює сумі алгебри моментів щодо цієї осі всіх сил, що діють на тіло.
Якщо сила, прикладена до тіла, не лежить у площині обертання, її можна розкласти на 2 компоненти: лежачу в площині обертання і до неї F n . Як очевидно з малюнка 4, F n обертання не створює, а призводить лише до деформації тіла; обертання тіла обумовлено лише складовою F .
Тіло, що обертається, можна представити як сукупність матеріальних точок.
У 
виберемо довільно деяку точку з масою m i, На яку діє сила, повідомляючи точці прискорення (рис. 5). Оскільки обертання створює лише тангенціальна складова, для спрощення виведення спрямована перпендикулярно осі обертання.
В цьому випадку
Відповідно до другого закону Ньютона: . Помножимо обидві частини рівності на r i ;
,
де - момент сили, що діє на матеріальну точку,
Момент інерції матеріальної точки.
Отже, .
Для всього тіла: ,
тобто. кутове прискорення тіла прямо пропорційно моменту зовнішніх сил, що діють на нього, і назад пропорційно його моменту інерції. Рівняння
(1) є рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла щодо нерухомої осі, або другий закон Ньютона для обертального руху.
3 . Момент імпульсу.
При порівнянні законів обертального та поступального рухів вбачається аналогія.
Аналогом імпульсу є момент імпульсу. Поняття моменту імпульсу також можна запровадити щодо нерухомої точки і щодо нерухомої осі, проте у більшості випадків його можна визначити наступним чином. Якщо матеріальна точка обертається навколо нерухомої осі, її момент імпульсу щодо цієї осі по модулю дорівнює
де m i- Маса матеріальної точки,
i - її лінійна швидкість
r i- Відстань до осі обертання.
Т.к. для обертального руху
де – момент інерції матеріальної точки щодо цієї осі.
Момент імпульсу твердого тіла щодо нерухомої осі дорівнює сумі моментів імпульсів всіх його точок щодо цієї осі:
г 
де – момент інерції тіла.
Т.ч. момент імпульсу твердого тіла щодо нерухомої осі обертання дорівнює добутку його моменту інерції щодо цієї осі на кутову швидкість і сонаправлен з вектором кутової швидкості.
Продиференціюємо рівняння (2) за часом:
Рівняння (3) - ще одна форма основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла щодо нерухомої осі: похідна моменту
імпульсу твердого тіла щодо нерухомої осі обертання дорівнює моменту зовнішніх сил щодо тієї ж осі
Це рівняння одна із найважливіших рівнянь ракетодинаміки. У процесі руху ракети становище її центру мас безперервно змінюється, внаслідок чого виникають різні моменти сил: лобового опору, аеродинамічної сили, сил, що створюються кермом висоти. Рівняння обертального руху ракети під дією всіх прикладених до неї моментів сил спільно з рівняннями руху центру мас ракети та рівняннями кінематики з відомими початковими умовами дозволяють визначити положення ракети у просторі у будь-який момент часу.
У цій статті описується важливий розділ фізики - "Кінематика та динаміка обертального руху".
Основні поняття кінематики обертального руху
Обертальним рухом матеріальної точки навколо нерухомої осі називають такий рух, траєкторією якого є коло, що знаходиться в площині перпендикулярної до осі, а центр лежить на осі обертання.
Обертальний рух твердого тіла - це рух, при якому по концентричних (центри яких лежать на одній осі) колам рухаються всі точки тіла відповідно до правила для обертального руху матеріальної точки.
Нехай довільне тверде тіло T здійснює обертання навколо осі O, яка перпендикулярна до площини малюнка. Виберемо на даному тілі точку M. При обертанні ця точка описуватиме навколо осі O коло радіусом r.
Через деякий час радіус повернеться щодо вихідного положення на кут Δφ.
За позитивний напрямок повороту прийнято напрямок правого гвинта (за годинниковою стрілкою). Зміна кута повороту з часом називається рівнянням обертального руху твердого тіла:
φ = φ(t).
Якщо φ вимірювати в радіанах (1 радий - це кут, що відповідає дузі, довжиною, що дорівнює її радіусу), то довжина дуги кола ΔS, яку пройде матеріальна точка M за час Δt, дорівнює:
ΔS = Δφr.
Основні елементи кінематики рівномірного обертального руху
Мірою переміщення матеріальної точки за невеликий проміжок часу dtслужить вектор елементарного повороту dφ.
Кутова швидкість матеріальної точки або тіла – це фізична величина, яка визначається ставленням вектора елементарного повороту до тривалості цього повороту. Напрямок вектора можна визначити правилом правого гвинта вздовж осі О. У скалярному вигляді:
ω = dφ/dt.
Якщо ω = dφ/dt = const,то такий рух називається рівномірним обертальним рухом. При ньому кутову швидкість визначають за формулою
ω = φ/t.
Згідно з попередньою формулою розмірність кутової швидкості
[ω] = 1 рад/с.
Рівномірне обертальне рух тіла можна описати періодом обертання. Період обертання T - фізична величина, що визначає час, протягом якого тіло навколо осі обертання виконує один повний оборот ([T] = 1 с). Якщо у формулі для кутової швидкості прийняти t = T, φ = 2 π (повний один оберт радіуса r), то
ω = 2π/T,
тому період обертання визначимо так:
T = 2π/ω.
Число оборотів, яке за одиницю часу здійснює тіло, називається частотою обертання ν, яка дорівнює:
ν = 1/T.
Одиниці вимірювання частоти: [ν] = 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.
Порівнюючи формули для кутової швидкості та частоти обертання, отримаємо вираз, що зв'язує ці величини:
ω = 2πν.
Основні елементи кінематики нерівномірного обертального руху
Нерівномірний обертальний рух твердого тіла чи матеріальної точки навколо нерухомої осі характеризує його кутова швидкість, що змінюється з часом.
Вектор ε , Що характеризує швидкість зміни кутової швидкості, називається вектором кутового прискорення:
ε = dω/dt.
Якщо тіло обертається, прискорюючись, тобто dω/dt > 0, Вектор має напрямок вздовж осі в ту ж сторону, що і ω.
Якщо обертальний рух уповільнений - dω/dt< 0 то вектори ε і ω протилежно спрямовані.
Зауваження. Коли відбувається нерівномірний обертальний рух, вектор може змінюватися не тільки за величиною, але і за напрямом (при повороті осі обертання).
Зв'язок величин, що характеризують поступальний та обертальний рух
Відомо, що довжина дуги з кутом повороту радіуса та його величиною пов'язана співвідношенням
ΔS = Δφ r.
Тоді лінійна швидкість матеріальної точки, що виконує обертальний рух
υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.
Нормальне прискорення матеріальної точки, що виконує обертально поступальний рух, визначимо так:
a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.
Отже, у скалярному вигляді
a = ω 2 r.
Тангенціальна прискорена матеріальна точка, яка виконує обертальний рух
a = r.
Момент імпульсу матеріальної точки
Векторний добуток радіуса-вектора траєкторії матеріальної точки масою m i на її імпульс називається моментом імпульсу цієї точки щодо осі обертання. Напрямок вектора можна визначити, скориставшись правилом правого гвинта.
Момент імпульсу матеріальної точки ( L i) спрямований перпендикулярно до площини, проведеної через r i і υ i , і утворює з ними праву трійку векторів (тобто при русі з кінця вектора r iдо υ i правий гвинт покаже напрям вектора L i).
У скалярній формі
L = m i υ i r i sin (υ i , r i).
Враховуючи, що при русі по колу радіус-вектор і вектор лінійної швидкості для i-ї матеріальної точки взаємно перпендикулярні,
sin(υ i , r i) = 1.
Так що момент імпульсу матеріальної точки для обертального руху набуде вигляду
L = m i υ i r i.
Момент сили, що діє на i-ю матеріальну точку
Векторний добуток радіуса-вектора, який проведений у точку докладання сили, на цю силу називається моментом сили, що діє на i-ю матеріальну точку щодо осі обертання.
У скалярній формі
Mi = r i F i sin (r i , F i).
Вважаючи, що r i sinα = l i ,M i = l i F i.
Величина l i , що дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки обертання на напрям дії сили, називається плечем сили F i.
Динаміка обертального руху
Рівняння динаміки обертального руху записується так:
M = dL/dt.
Формулювання закону таке: швидкість зміни моменту імпульсу тіла, яке здійснює обертання навколо нерухомої осі, дорівнює результуючого моменту щодо цієї осі всіх зовнішніх сил, прикладених до тіла.
Момент імпульсу та момент інерції
Відомо, що для i-ї матеріальної точки момент імпульсу в скалярній формі задається формулою
L i = m i υ i r i.
Якщо замість лінійної швидкості підставити її вираз через кутову:
υ i = ωr i ,
той вираз для моменту імпульсу набуде вигляду
L i = m i r i 2 ω.
Величина I i = m i r i 2називається моментом інерції щодо осі i-ї матеріальної точки абсолютно твердого тіла, що проходить через його центр мас. Тоді момент імпульсу матеріальної точки запишемо:
L i = I i ω.
Момент імпульсу абсолютно твердого тіла запишемо як суму моментів імпульсу матеріальних точок, що становлять це тіло:
L = I?.
Момент сили та момент інерції
Закон обертального руху свідчить:
M = dL/dt.
Відомо, що уявити момент імпульсу тіла можна за момент інерції:
L = I?.
M = Id/dt.
Враховуючи, що кутове прискорення визначається виразом
ε = dω/dt,
отримаємо формулу для моменту сили, поданого через момент інерції:
M = I?.
Зауваження.Момент сили вважається позитивним, якщо кутове прискорення, яким він викликаний, більше за нуль, і навпаки.
Теорема Штейнер. Закон складання моментів інерції
Якщо вісь обертання тіла через центр ваги його не проходить, то щодо цієї осі можна знайти його момент інерції по теоремі Штейнера:
I = I 0 + ma 2
де I 0- Початковий момент інерції тіла; m- маса тіла; a- Відстань між осями.
Якщо система, яка здійснює оберти округу нерухомої осі, складається з nтіл, то сумарний момент інерції такого типу системи дорівнюватиме сумі моментів, її складових (закон складання моментів інерції).
Тверде тіло можна як сукупність матеріальних точок. При обертанні тіла всі ці точки мають однакові кутові швидкості та прискорення. Використовуючи результати § 7.6, порівняно нескладно отримати рівняння руху твердого тіла при обертанні навколо нерухомої осі.
Рівняння руху
Для виведення основного рівняння динаміки обертального руху можна зробити так. Розділити подумки тіло на окремі, досить малі елементи, які можна розглядати як матеріальні точки (рис. 7.33). Записати для кожного елемента рівняння (7.6.13) і всі ці рівняння почленно скласти. При цьому внутрішні сили, що діють між окремими елементами, рівняння руху тіла не увійдуть. Сума їх моментів в результаті складання рівнянь виявиться рівною нулю, тому що за третім законом Ньютона сили взаємодії рівні по модулю і спрямовані вздовж однієї прямої в протилежні сторони. Враховуючи далі, що при обертанні твердого тіла всі його точки здійснюють однакові кутові переміщення з однаковими швидкостями та прискореннями, можна таким чином отримати рівняння обертального руху всього тіла.
Однак виведення цього рівняння досить громіздке, тому ми на ньому зупинятися не будемо. Тим більше, що це рівняння має таку ж форму, що і рівняння (7.6.13) для матеріальної точки, що рухається по колу:
О"
О"
(7.7.1)
d(J У цьому рівнянні JI
чих на тіло щодо осі обертання.
Читається рівняння (7.7.1) так: похідна за часом від моменту імпульсу дорівнює сумарному моменту зовнішніх сил.
Слід мати на увазі, що JITO обертання тіла навколо осі можуть викликати лише сили Ft, що лежать у площині перпендикулярної осі обертання (рис. 7.34). Сили Fk, спрямовані паралельно осі обертання, очевидно, здатні викликати лише переміщення тіла вздовж осі. Момент кожної сили Fl дорівнює взятому зі знаком плюс або мінус добутку модуля цієї сили на плече d, тобто на довжину відрізка перпендикуляра, опущеного з точки осі на лінію дії сили Ft:
Mi = ±Ftd. (7.7.2)
Момент сили, що обертає тіло навколо цієї осі проти годинникової стрілки, вважається позитивним, а за годинниковою стрілкою - негативним.
Момент інерції тіла
У формулу (7.7.1) входить момент інерції тіла J. Момент інерції тіла J дорівнює сумі моментів інерції AJ окремих малих елементів, на які можна розбити все тіло:
(7.7.3)
і
Оскільки момент інерції матеріальної точки
AJ^Amtf, (7.7.4)
де Атпі - маса елемента тіла, а г - його відстань до осі обертання (див. рис. 7.33), то
J = J A mtrf. (7.7.5)
385
13-Мякішів, 10 кл.
Момент інерції тіла залежить тільки від маси тіла, а й від характеру розподілу цієї маси. Чим більше витягнуто
Мал. 7.35
тіло вздовж осі обертання, тим менше його момент інерції, тому що тим ближче до осі обертання розташовані окремі елементи тіла. Очевидно також, що, змінивши вісь обертання тіла, ми тим самим змінимо його момент інерції. У твердих тіл момент інерції щодо цієї осі - постійна величина. Тому зміна моменту імпульсу може відбуватися лише за рахунок зміни кутової швидкості. Відповідно рівняння (7.7.1) можна записати у вигляді:
jft = М. (7.7.6)
Читається це рівняння так: добуток моменту інерції тіла щодо осі обертання на кутове прискорення тіла дорівнює сумі моментів (щодо тієї ж осі) всіх зовнішніх сил, прикладених до тіла.
Рівняння (7.7.6) показує, що з обертанні тіла момент інерції грає роль маси, момент сили - роль сили, а кутове прискорення - роль лінійного прискорення під час руху матеріальної точки чи центру мас.
У тому, що кутове прискорення визначається дійсно моментом сили, тобто силою та плечем, а не просто силою, переконатися неважко. Так, розкрутити велосипедне колесо до однієї і тієї ж кутової швидкості однією і тією ж силою (наприклад, зусиллям пальця) можна набагато швидше, якщо прикладати силу до обода колеса (це створює більший момент), а не до спиць поблизу втулки (рис . 7.35).
Для того щоб переконатися в тому, що кутове прискорення визначається саме моментом інерції, а не масою тіла, потрібно мати тіло, форму якого можна легко змінювати, не змінюючи маси. Велосипедне колесо тут непридатне. Але можна скористатися своїм тілом. Спробуйте закрутитись на п'яті, відштовхнувшись від підлоги іншою ногою. Якщо при цьому притиснете руки до грудей, то кутова швидкість виявиться більшою, ніж якщо ви розкинете руки в сторони. Ефект буде особливо помітним, якщо обидві руки взяти по товстій книзі.
Моменти інерції обруча та циліндра
Знайти момент інерції тіла довільної несиметричної форми досить складно. Простіше його виміряти дослідним шляхом, ніж обчислити.
Ми обмежимося обчисленням моменту інерції тонкого обруча, що обертається навколо осі, що проходить через його центр. Якщо маса колеса зосереджена головним чином його обід (як, наприклад, у велосипедного колеса), таке колесо наближено можна як обруч, нехтуючи масою спиць і втулки.
Розіб'ємо обруч на N однакових елементів. Якщо т - маса всього обруча, маса кожного елемента Дmi = ^ . Товщину
обруча будемо вважати набагато меншою за її радіус (рис. 7.36). Якщо число елементів вибрати досить великим, кожен елемент можна як матеріальну точку. Тому момент інерції довільного елемента з номером і дорівнюватиме:
Д Jt = Дт; Д2. (7.7.7)
Підставляючи вираз (7.7.7) у формулу (7.7.5) для повного моменту інерції, отримаємо:
N
(7.7.8)
J = Д^Д miR2 = mR2.
Мал. 7.36
Тут ми врахували, що відстань R для всіх елементів однакова і що сума
мас елементів дорівнює масі т про-
I
руча.
13*
387
Вийшов дуже простий результат: момент інерції обруча дорівнює добутку його маси квадрат радіуса. Момент інерції обруча цієї маси тим більше, що більший його радіус. Формула (7.7.8) визначає також момент інерції
порожнистого тонкостінного циліндра при його обертанні навколо осі симетрії.
Обчислення моменту інерції суцільного однорідного циліндра масою тп і радіусом R щодо його осі симетрії є складнішим завданням. Ми наведемо лише результат розрахунку: (7.7.9)
J = mR2. Отже, якщо порівняти моменти інерції двох циліндрів однакового розміру та маси, один з яких порожнистий, а інший суцільний, то у другого циліндра момент інерції буде вдвічі меншим. Це з тим, що з суцільного циліндра маса розташована загалом ближче до осі обертання.
Ми познайомилися із рівнянням обертального руху твердого тіла. Формою воно схоже на рівняння для поступального руху твердого тіла. Дано визначення нових фізичних величин, що характеризують тверде тіло: моменту інерції та моменту імпульсу.
Билет1.
Світлова хвиля. Інтерференція світлових хвиль.
Світло - у фізичній оптиці електромагнітне випромінювання, яке сприймається людським оком. Як короткохвильова межа спектрального діапазону, займаного світлом, прийнята ділянка з довжинами хвиль у вакуумі 380-400 нм (750-790 ТГц), а як довгохвильова межа - ділянка 760-780 нм (385-395 ТГц). поза фізичною оптикою, світлом часто називає
|
Квиток2
Білет №3
1. Кінематика обертального руху. Зв'язок між векторами v та ω.
обертальним рухом абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий рух, при якому всі точки тіла рухаються в площинах, перпендикулярних до нерухомої прямої, званої віссю обертання, і описують кола, центри яких лежать на цій осі. Кутовою швидкістю обертання називається вектор, чисельно рівний першій похідній кута повороту тіла за часом і спрямований уздовж осі обертання за правилом правого гвинта:
Одиниця виміру кутової швидкості радіан за секунду (рад/с).
Таким чином, вектор ω
визначає напрямок та швидкість обертання. Якщо ω=const, то обертання називається рівномірним.
Кутова швидкість може бути пов'язана з лінійною швидкістю υ
довільної точки А. Нехай за час Δtточка проходить по дузі кола довжину колії Δs. Тоді лінійна швидкість точки дорівнюватиме:
/////////////
При рівномірному обертанні його можна охарактеризувати періодом обертання Т– часом, протягом якого точка тіла робить один повний оборот, тобто. повертається на кут 2π:
/////////////////
Число повних оборотів, що здійснюються тілом при рівномірному русі по колу, в одиницю часу називається частотою обертання:
….....................
Звідки
Для характеристики нерівномірного обертання тіла запроваджується поняття кутового прискорення. Кутовим прискоренням називається векторна величина, що дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом:
////////////////////////(1.20)
Висловимо тангенціальну та нормальну складові прискорення крапки Aтіла, що обертається через кутову швидкість і кутове прискорення:
////////////////(1.21)
/////////////////(1.22)
У разі рівнозмінного руху точки по колу ( ε=const):
////////////////////////////
Де ω0
- Початкова кутова швидкість. Поступальний і обертальний рухи твердого тіла є лише найпростішими типами його руху. У випадку рух твердого тіла може бути дуже складним. Однак у теоретичній механіці доводиться, що будь-який складний рух твердого тіла можна представити як сукупність поступального та обертального рухів.
Кінематичні рівняння поступального та обертального рухів зведені в табл. 1.1 .
Таблиця 1.1
2. Рівняння Максвелла. 06
Першу пару рівнянь Максвелла утворюють
Перше з цих рівнянь пов'язує значення Е з тимчасовими змінами вектора і є по суті виразом закону електромагнітної індукції. Друге рівняння відображає те властивість вектора, що його лінії замкнуті (або йдуть в нескінченність)
//////////
Білет №4
Білет №5
Робота. Потужність.
Роботою називається скалярна величина, що дорівнює добутку проекції сили на напрямок переміщення та шляху s, що проходить точкою докладання сили A fs cos (1.53)Якщо сила та напрямок переміщення утворюють гострий кут (cosα>0), робота позитивна. Якщо кут α – тупий (cosα<0),работа отрицательна. При α = π/2 работаравна нулю
Скалярний добуток двох векторів дорівнює:AB AB cos.Вираз для роботи (1.54) можна записати у вигляді скалярного твору
Де під Δs мається на увазі вектор елементарного переміщення, який ми позначали раніше через Δr. s v t /////////////
Потужність Wє величина, що дорівнює відношенню роботи ΔАдо проміжку часу Δt, за який вона відбувається ////////////////////////
Якщо робота змінюється згодом, то вводиться миттєве значення потужності ////////////
Білет №6
Рівняння Максвелла.
2. Дифракція Френеля від найпростіших перешкод.
Білет №7
Білет №8
Білет №9
У стані рівноваги
сила mgврівноважується пружною силою kΔ l0:
mg kl 0 (1.129)
0 f mg k(l x)
f kx(1.130)
Сили такого виду прийнято
Називати квазіпружними
Амплітудою коливання.
Величина, що стоїть у дужках під знаком
Початковою фазою коливання.
проміжок часу Т, за який фаза
коливання отримує приріст, що дорівнює 2π
Циклічною частотою.
0 2 (1.139)
Енергія гармонійного
Коливання
Продиференціювавши (1.135) за часом,
Збігається із середнім
значенням Epі одно Е/ 2.
Струм індукційним.
Розмір індукційного струму визначається
лише швидкістю зміни Φ, тобто значенням
похідний dΦ/ d t. При зміні знака
Струму.
Явище електромагнітне
індукції.
Щеплення Ленца говорить, що індукційний струм завжди
Його зухвалою.
Білет №10
Нуль
Розділивши цей вираз на Lі замінивши через
(2.188);
Замінюючи ω0 за формулою (2.188), отримаємо
Вільні загасаючі
Коливання.
Рівняння коливань можна отримати, виходячи з того,
має вигляд:
де ….
Підставляючи значення (2.188) для ω0 та (2.196) для β,
Знаходимо, що
Розділивши (2.198) на ємність З, отримаємо напругу
на конденсаторі:
Білет №12
Сила Лоренца дорівнює
Таким чином, рух
Радіус кола, по
Який відбувається обертання
Визначається формулою
(2.184) із заміною vна v = v
Крок спіралі lможна знайти,
помноживши v║ на визначений
Формулою (2.185) період
звернення Т:
…............
2. Поляризація при подвійному променезаломленні. Подвійне променезаломлення ефект розщеплення в анізотропних середовищах променя світла на дві складові. Вперше виявлено датським ученим Расмусом Бартоліном на кристалі ісландського шпату. Якщо промінь світла падає перпендикулярно поверхні кристала, то цій поверхні він розщеплюється на два променя. Перший промінь продовжує поширюватися прямо, і називається звичайним ( o- ordinary), другий ж відхиляється убік, і називається незвичайним ( e- extraordinary). Напрямок коливання вектора електричного поля незвичайного променя лежить у площині головного перерізу (площини, що проходить через промінь та оптичну вісь кристала). Оптична вісь кристала - напрям в оптично анізотропному кристалі, яким промінь світла поширюється, не відчуваючи подвійного променезаломлення.
Порушення закону заломлення світла незвичайним променем пов'язані з тим, що швидкість поширення світла (отже і показник заломлення) хвиль із такою поляризацією, як і незвичайного променя, залежить від напрями. Для звичайної хвилі швидкість поширення однакова у всіх напрямках.
Можна підібрати умови, у яких звичайний і незвичайний промені поширюються однією траєкторії, але з різними швидкостями. Тоді спостерігається ефект зміни поляризації. Наприклад, лінійно поляризоване світло, що падає на платівку, можна представити у вигляді двох складових (звичайної та незвичайної хвиль), що рухаються з різними швидкостями. Через різницю швидкостей цих двох складових, на виході з кристала між ними буде деяка різниця фаз, і в залежності від цієї різниці світло на виході матиме різні поляризації. Якщо товщина платівки така, що на виході з неї один промінь на чверть хвилі (чверть періоду) відстає від іншого, то поляризація перетвориться на кругову (така пластинка називається чвертьхвильовою), якщо один промінь від іншого відстане на підлогу хвилі, то світло залишиться лінійно поляризованим , але площина поляризації повернеться на деякий кут, значення якого залежить від кута між площиною поляризації падаючого променя і площиною головного перерізу (така пластинка називається напівхвильовою). Якісне явище можна пояснити таким чином. З рівнянь Максвелла для матеріального середовища випливає, що фазова швидкість світла в середовищі обернено пропорційна величині діелектричної проникності середовища. У деяких кристалах діелектрична проникність - тензорна величина - залежить від напрямку електричного вектора, тобто стану поляризації хвилі, тому і фазова швидкість хвилі залежатиме від її поляризації. Відповідно до класичної теорії світла, виникнення ефекту пов'язане з тим, що змінне електромагнітне поле світла змушує коливатися електрони речовини, і ці коливання впливають на поширення світла в середовищі, а в деяких речовинах змусити електрони коливатися простіше в деяких певних напрямках. Крім кристалів подвійне променезаломлення спостерігається і візотропних середовищах, поміщених в електричне поле (ефект Керра), магнітне поле (ефект Коттона - Мутона, ефект Фарадея), під дією механічних напруг (фотопружність). Під дією цих факторів спочатку ізотропне середовище змінює свої властивості і стає анізотропним. У цих випадках оптична вісь середовища збігається з напрямком електричного поля, магнітного поля, напрямом докладання сили. Негативні кристали - одновісні кристали, в яких швидкість поширення звичайного променя світла менша, ніж швидкість поширення незвичайного променя. У кристалографії Негативними кристалами називають також рідкі включення в кристалах, що мають ту ж форму, що і сам кристал. Позитивні кристали - одновісні кристали, в яких швидкість поширення звичайного променя світла більша, ніж швидкість поширення незвичайного променя.
Білет №13
Випромінювання диполя.06
Називається елементарним
Дипольний електричний
Момент такої системи дорівнює
p ql cos tn p m cos t, (2.228)
де l– подвоєна амплітуда
Лінний уздовж осі диполя,
p m= ql n
Хвильовий фронт у так званій хвильовій зоні, тобто.
Залежність
Інтенсивності хвилі від
кута θ зображується з
Допомога діаграми
Спрямованості диполя
(Рис. 246).
Енергія, що випромінюється за всіма напрямками в
Випромінювання.
Білет №14
Даної точки.
Негативний
Осію диполя.
Знайдемо напружено-
Ність поля на осі
Диполя, а також на
Прямий, проходячи-
Щей через центр
Диполя та перпен-
Дикулярна до нього
осі (рис. 4).
Положення точок
Будемо характеризуватися
Вати їх відстані-
їм rвід центру дипо-
ля. Нагадаємо, що
r >> l.
На осі диполя вектори Е+ та Е– мають протилеж-
Випливає, що
….........
Білет №15
Енергія
Фізична величина, що характеризує
Швидкістю та,
по-друге, знаходженням тіла в
Потенційне поле сил.
Енергія першого виду називається
Вектор v.
Помноживши на mчисельник та знаменник,
рівняння (1.65) можна переписати як:
Кінетичної енергії
…..........
A T 2T1(1.67)
Потенціальна енергія
Тіл, що утворюють систему
…...........
Закон збереження енергії
E E 2 E 1 Aн. к. (1.72)
Для системи з Nтіл, між якими
Лінія напруги.
Потік вектора напруженості
Густота ліній вибирається так, щоб кількість
Вектор Е.
Лінії Е точкового заряду є
радіальні прямі.
Отже, повна кількість ліній Nодно
Якщо майданчик dSорієнтована так, що нормаль до
ній утворює з вектором Е кут α, то кількість
Нормалі до майданчика
чисельно одно
…..........
де вираз для Ф називається потоком вектора Е
У тих місцях, де вектор Е
Обсяг, що охоплюються поверх-
ністю), Еnі відповідно dФ
будуть негативні (рис. 10)
Теорема Гауса
Можна показати, що, як і для сферичної
Білет №16
Зміни.
Інерційні системи
Відліку
Система відліку, у якій виконується
Неінерційною.
Прикладом інерційної системи
Інерційною
Групова швидкість - це величина, що характеризує швидкість поширення «групи хвиль» - тобто більш менш добре локалізованої квазимонохроматичної хвилі (хвилі з досить вузьким спектром). Групова швидкість у багатьох важливих випадках визначає швидкість перенесення енергії та інформації квазісинусоїдальної хвилею (хоча це твердження у загальному випадку вимагає серйозних уточнень та застережень).
Групова швидкість визначається динамікою фізичної системи, у якій поширюється хвиля (конкретного середовища, конкретного поля і тп). Найчастіше мається на увазі лінійність цієї системи (точно чи наближено).
Для одновимірних хвиль групова швидкість обчислюється із закону дисперсії:
,
де - Кутова частота, - хвильове число.
Групова швидкість хвиль у просторі (наприклад, тривимірному або двовимірному) визначається градієнтом частоти за хвильовим вектором :
Примітка: групова швидкість взагалі кажучи залежить від хвильового вектора (в одновимірному випадку - від хвильового числа), тобто взагалі різна для різної величини і для різних напрямків хвильового вектора.
Білет №17
Робота сил
Електростатичного поля
….......
…........
…........
ми врахували, що
….....
Звідси для роботи на шляху 1–2 отримуємо
Отже, сили, що діють на заряд q"в
поле нерухомого заряду q, є
потенційними.
де El– проекція вектора Е на напрямок
елементарного переміщення d l
Циркуляцією за контуром.
Таким чином, для електростатичного
Потенціал.
Для різних пробних значень q′ставлення
Wp/qпр буде постійним
ведичина φ ─ називається потенціалом поля
Електричні поля
З 225 та 226 отримуємо
З урахуванням (2.23) отримуємо
….......
Для потенційної енергії заряду q′в полі
Окремості
З 226 випливає що
Середах
Однорідна речовина
Приклади каламутних середовищ:
– дим (найдрібніші тверді частки у газі)
– туман (краплі рідини у повітрі, газі)
- суспензія клітин
- емульсія (дисперсна система, що складається з
Інші види енергії
Поглинаючої речовини
….......
…........
….....
Білет №18
Другий закон Ньютона.02
Тіла.
Зв'язок між напруженістю
Напрямок r дорівнює
Можна написати
Щенянні вздовж дотичної до
поверхні τ на величину dτ
Потенціал не зміниться, так
що φ/τ = 0. Але φ/τ дорівнює
Ціальній поверхні буде
Збігатися з напрямком
А точці.
Білет №19
Конденсатори
Під ємністю конденсатора розуміється фізична
величина, пропорційна заряду qі назад
З'єднання конденсаторів
При паралельному з'єднанні (рис. 50) на кожній
Напруга
Обкладинки.
Тому напруга на кожному з
конденсаторів:
Закон Кірхгофа.
Білет №20
Можна надати іншого вигляду
…..............
Векторну величину
p m v (1.44)
Закон збереження імпульсу
Імпульсом системи р називається
Що утворюють систему,
…....................
Центром важкості системи.
Швидкість центру інерції виходить
шляхом диференціювання r зпо
часу:
.................
Враховуючи що mi vi є рi, а Σрi дає
імпульс системи р, можна написати
p m v c(1.50)
Таким чином, імпульс системи дорівнює
Кожною із внутрішніх сил
За третім законом
Ньютона можна написати f ij
= - f ji
Символом F iпозначено
Результуюча зовнішніх
сил, що діє на тіло i
Рівняння (1.45)
…......
….........
…..........
Нулю, внаслідок чого
Р постійний
Постійним
p m v c(1.50)
Енергія системи зарядів.02
Розглянемо систему із двох точкових зарядів q 1 та q 2,
що знаходяться на відстані r 12.
Робота перенесення заряду q 1 з нескінченності в крапку,
віддалену від q 2 на r 12 дорівнює:
де φ 1 – потенціал, створюваний зарядом q 2 у тій
точці, в яку переміщується заряд q 1
Аналогічно для другого заряду отримаємо:
…........
Рівна енергії трьох зарядів
…...............
….....................
де φ1 – потенціал, створюваний зарядами q 2 та q 3 у тій
точці, де розташований заряд q 1 і т.д.
Додаючи до системи зарядів послідовно
q4, q 5 і т. д., можна переконатися в тому, що в
випадку Nзарядів потенційна енергія
Системи дорівнює
де φi- потенціал, створюваний у тій точці,
де знаходиться qi, усіма зарядами, крім i-го.
Білет №21
Сила
Вираз (2.147) збігається з (2.104), якщо покласти
k = 1. Отже, у СІ закон Ампера має вигляд
df id lB (2.148)
df iB dl sin (2.149)
Сила Лоренца
Згідно (2.148) на елемент струму d l діє в
магнітному полі сила
df id lB (2.150)
Замінивши id l через S j dl[див. (2.111)], вираз закону
Ампера можна надати вигляду
df SdljB jB dV
де dV– обсяг провідника, до якого додано
сила d f.
Розділивши d f на dV, Отримаємо «щільність сили», тобто.
силу, що діє на одиницю обсягу провідника:
f од. про jB (2.151)
Знайдемо, що
fед. про ne"uB
Ця сила дорівнює сумі сил, що додаються до носіїв
в одиниці обсягу. Таких носіїв n, слідчий-
Важливо відзначити, що закон говорить лише про загальну випромінювану енергію. Розподіл енергії за спектромизлучения описується формулою Планка, відповідно до якої у спектрі є єдиний максимум, положення якого визначається законом Вина.
Закон зсуву Вина дає залежність довжини хвилі, на якій потік випромінювання енергії чорного тіла досягає свого максимуму, від температури чорного тіла. λmax = b/T≈ 0,002898 м·К × T−1 (K),
де T- температура, а λmax – довжина хвилі з максимальною інтенсивністю. Коефіцієнт b, званий постійною виною, в системі СІ має значення 0,002898 м·К.
Для частоти світла (у герцах) закон усунення Вина має вигляд:
α ≈ 2,821439… - постійна величина (корінь рівняння 
),
k - постійна Больцмана,
h - постійна Планка,
T – температура (у кельвінах).
Білет №22
Третій закон Ньютона.
Напряму.
f12 f21 (1.42)
Білет №23
Формула Планка.
Білет №24
Білет №25
Закон Джоуля - Ленца.
Фотоефект.
Білет №26
Ефект Комптон.
Билет1.
Основне рівняння динаміки обертального руху.
Це основне рівняння динаміки обертального руху тіла: кутове прискорення тіла, що обертається прямо пропорційно сумі моментів всіх діючих на нього сил щодо осі обертання тіла і назад пропорційно моменту інерції тіла щодо цієї осі обертання. Отримане рівняння аналогічно формою запису виразу другого закону Ньютона для поступального руху тіла.
другий закон Ньютона для обертального руху За визначенням кутове прискорення і тоді це рівняння можна переписати так з урахуванням (5.9) або
Цей вираз носить назву основного рівняння динаміки обертального руху і формулюється наступним чином: зміна моменту кількості руху твердого тіла, так само імпульсу моменту всіх зовнішніх сил, що діють на це тіло.