XIII областном научном форуме молодых исследователей

«Шаг в будущее - 2010»

Исследовательская работа

Квадратичная функция: её исследование и построение графика.

МОУ «Шипаковская основная

общеобразовательная школа »

Руководитель:

Учитель математики

МОУ «Шипаковская основная

общеобразовательная школа »

Российская Федерация

2010

Краткая аннотация

В данной исследовательской работе в доступной форме изложен материал о квадратичной функции, её свойствах.

Были построены графики 33 квадратичных функций отличных по структуре. На основании данных составлен алгоритм исследования.

Представлены два способа построения графиков. Определен свой алгоритм построения графиков.

При написании исследовательской работы использованы опубликованные материалы, программа ADVANCED GRAPHER, построены различные графики. Свои исследования я вела в течение прошлого учебного года.

Квадратичная функция: её исследование и построение графика

Россия, Тюменская область, Юргинский район, с. Шипаково,

МОУ « Шипаковская основная общеобразовательная школа », ученица 9 класса.

Аннотация

Цель работы: Исследование свойств квадратичной функции, особенностей расположения графиков на координатной плоскости, изучение алгоритмов построения графиков функций на координатной плоскости.

Задачи:

Исследовать свойства квадратичной функции. Выявить от чего зависит расположение графиков данных функций на координатной плоскости. Изучить алгоритмы построения квадратичной функции. Научиться быстро и правильно строить графики квадратичных функций на координатной плоскости.

Методы и приемы работы:

Исследование графиков квадратичных функций, изучение специальной литературы, поиск информации в Интернете, построение графиков квадратичных функций с помощью программы ADVANCED GRAPHER.

Полученные данные:

Расположение графиков квадратичных функций зависит от значения а, b, с, дискриминанта. Построить график данной функции можно двумя способами: по точкам, во вспомогательной системе координат через выделение полного квадрата.

Выводы:

1.Если а=1, то график квадратичной функции представляет собой график у = х2, перенесенный параллельно оси у с вершиной в точке (- ;-).

2.Если а>0, то ветви параболы направлены вверх. Если а<0, то ветви параболы направлены вниз.

3.Все графики квадратичных функций имеют ось симметрии, проходящей через вершину параболы, параллельно оси у, или являющуюся.

4. Для исследования графиков достаточно знать значение а, координаты вершины и точки пересечения с осью х.

5.Если а=1, координаты вершины целые числа, то удобней строить график с помощью вспомогательной системы координат. Если нет, то строить график по точкам.

Квадратичная функция: её исследование и построение графика

Россия, Тюменская область, Юргинский район, с. Шипаково,

МОУ « Шипаковская основная общеобразовательная школа », ученица 9 класса.

Научная статья

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

y = ax² + bx + c , где a ≠0.

Я решила построить различные графики квадратичных функций с помощью программы ADVANCED GRAPHER и исследовать их. Взяла произвольные формулы квадратичных функций, различные по структуре (формулы данных квадратичных функций отличаются друг от друга значениями а, b,с). Сравнила координаты вершин параболы построенных графиков и высчитанные по формуле (- ; -). А также нашла значения дискриминанта.

1. Квадратичная функция: у = х2 (элементарная квадратичная функция: а=1, b=0, с=0). (Приложение 1)

b=0, с=0

2. Квадратичная функция: у = 3х2 (а>0, b=0, с=0) (Приложение 2)

3. Квадратичная функция: у = -3х2 (а<0, b=0, с=0) (Приложение 3)

4. Квадратичная функция: у = х2 (0 <а <1, b=0, с=0) (Приложение 4)

5. Квадратичная функция: у = -х2 (0 >а >1, b=0, с=0) (Приложение 5)

Графики квадратичных функций, у которых а >0, b=0

6. Квадратичная функция: у = х2+4 (а=1, b=0, с>0) (Приложение 6)

7. Квадратичная функция: у = х2-4 (а=1, b=0, с<0) (Приложение 7)

8. Квадратичная функция: у = 2х2+4 (а>1, b=0, с>0) (Приложение 8)

9. Квадратичная функция: у = 2х2-4 (а>1, b=0, с<0) (Приложение 9)

10. Квадратичная функция: у = х2+4 (0<а<1, b=0, с>0) (Приложение 10)

11. Квадратичная функция: у = х2-4 (0<а<1, b=0, с<0) (Приложение 11)

Графики квадратичных функций, у которых а <0, b=0

12. Квадратичная функция: у = - х2+5 (а=-1, b=0, с>0) (Приложение 12)

13. Квадратичная функция: у = - х2-5 (а=-1, b=0, с<0) (Приложение 13)

14. Квадратичная функция: у = -2х2+5 (а<-1, b=0, с>0) (Приложение 14)

15. Квадратичная функция: у = -2х2-5 (а<-1, b=0, с<0) (Приложение 15)

16. Квадратичная функция: у = -х2+5 (0>а>-1, b=0, с>0) (Приложение 16)

17. Квадратичная функция: у = -х2-5 (0>а>-1, b=0, с<0) (Приложение 17)

Графики квадратичных функций, у которых b ≠0, с=0

18. Квадратичная функция: у = х2+3х (а=1, b≠0, с=0) (Приложение 18)

19. Квадратичная функция: у = - х2+3х (а=1, b≠0, с=0) (Приложение 19)

20. Квадратичная функция: у = 2х2+3х (а>1, b≠0, с=0) (Приложение 20)

21. Квадратичная функция: у = -2х2+3х (а<-1, b≠0, с=0) (Приложение 21)

22. Квадратичная функция: у = х2+3х (0<а<1, b≠0, с=0) (Приложение 22)

23. Квадратичная функция: у = -х2+3х (0>а>1, b≠0, с=0) (Приложение 23)

Графики квадратичных функций, у которых а=1, b≠0, с≠0

24. Квадратичная функция: у = х2+4х-5 (а>0, b≠0, с≠0) (Приложение 24)

25. Квадратичная функция: у = х2+4х+5 (а>0, b≠0, с≠0) (Приложение 25)

26. Квадратичная функция: у = х2+4х+4 (а>0, b≠0, с≠0) (Приложение 26)

Графики квадратичных функций, у которых а= -1, b≠0, с≠0

27. Квадратичная функция: у = - х2+4х+5 (а<0, b≠0, с≠0) (Приложение 27)

28. Квадратичная функция: у = - х2-4х-5 (а<0, b≠0, с≠0) (Приложение 28)

29. Квадратичная функция: у = - х2-4х-4 (а<0, b≠0, с≠0) (Приложение 29)

Графики квадратичных функций, у которых а≠1, b≠0, с≠0

30. Квадратичная функция: у = 2х2+6х+5 (а >1, b≠0, с≠0) (Приложение 30)

31. Квадратичная функция: у = -2х2+6х+5 (а < -1, b≠0, с≠0) (Приложение 31)

Графики квадратичных функций, у которых -1<а<1, b≠0, с≠0

32. Квадратичная функция: у = х2+6х+15 (0 <а <1, b≠0, с≠0) (Приложение 32)

33. Квадратичная функция: у = -х2+6х>а > -1, b≠0, с≠0) (Приложение 33)

Графиками всех квадратичных функций является парабола. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх. Если a < 0, то ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы

у = ах² в точке (0;0); у = ах²+с в точке (0;с); у = ах²+вх и у = ах²+вх+с в точке (- ; -).

Ось симметрии – это прямая линия, относительно которой все точки графика функции расположены симметрично. Все графики квадратичных функций имеют ось симметрии, проходящей через вершину. Если функция задана формулой у = ах² или у = ах²+с, то осью симметрии является ось у. Если функция задана формулой у = ах²+ bх или у = ах²+ bх+с, то осью симметрии является прямая х = - .

Сжатие растяжение графиков.

Сжатие: График функции y = аf (x ) (а > 1) получается с помощью растяжения графика функции y = f (x ) вдоль оси y в а раз.

Растяжение: График функции y = аf (x ) (0 < а < 1) получается с помощью сжатия графика функции y = f (x ) вдоль оси y в раз.

График квадратичных функций, при а = 1, представляет собой график у = х2, перенесенный параллельно оси у в вершину (- ;-). если а = -1, то еще и симметрично перенесен относительно прямой у = - (прямой, проходящей через вершину, параллельно оси х).

График квадратичных функций при a > 1, не зависимо от значения b и с, представляет собой график у = х2, который растянут вдоль оси симметрии в а раз от вершины, при 0а раз. Если а<0, а ≠-1, то графики помимо сжатия или растяжения еще и симметрично переносятся относительно прямой у = - .

Зависимость расположение графика квадратичной функции от дискриминанта.

Свойства функции и вид её графика определяются, значением а и дискриминанта

D = b ² - 4ac .

a > 0, D > 0

a > 0, D = 0

a > 0, D < 0

https://pandia.ru/text/78/547/images/image007_45.gif" alt="parabola1" align="left" width="192 height=187" height="187">

a < 0, D > 0

a < 0, D = 0

a < 0, D < 0

https://pandia.ru/text/78/547/images/image010_29.jpg" alt="parabola5" width="196" height="177">
Свойства квадратичных функций

1. Все квадратичные функции имеют область определения: R, все действительные числа.

2. Область значений зависит от значения а: при a > 0 [- ;+∞), при a < 0 (-∞;- ] .

3. Четность, нечетность квадратичных функций: при b = 0 функция четная (то есть у = ах2+с= а(-х)2+с; при b ≠0, то функция ни четная, ни нечетная.

4. Нули функции (то есть при каких значениях аргумента, значения функции равно 0).

Если D > 0, то график квадратичной функции имеет два нуля: х1=; х2=

и график функции пересекают ось х в 2 точках.

Если D = 0, то график квадратичной функции имеет один нуль: x = -;

и график функции касается оси х в точке (- ; 0)

Если D < 0, то график квадратичной функции не имеет нулей, график не пересекает ось х.

5. Промежутки знакопостоянства (промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т. е. у>0 или у<0).

Если а>0, D>0, то у>0 при х(-∞;x1 )U(x2 ; + ∞); у<0 при хhttps://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13">(-∞;x )U(x ; +∞).

Если а>0, D <0, то у>0 при х https://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13 src="> (х1;х2); у<0 при х(-∞;x1 )U(x2 ; ∞).

Если а<0, D =0, то у<0 при х (-∞;x )U(x ; ∞).

Если а<0, D <0, то у<0 при х https://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13"> [- ;+∞); убывает при х (-∞;- ].

Если а<0, функция возрастает при х(-∞;- ], убывает при х [- ;+∞).

7. Экстремумы функции (точки максимума, минимума) В точках максимума (минимума) значение функции больше (соответственно меньше) всех соседних ее значений.

Если а >0, то у графиков есть только минимум функций, если а <0 – только максимум функций. Это точки вершины параболы.

Если a > 0, то x min = - ; y min = - ; если a < 0 x max = - ; y max = - .

Алгоритм исследования свойств квадратичной функции

Область определения. Область значений. Четность нечетность функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности. Экстремумы функции.

Проведя анализ построения графиков моих квадратичных функций, я составила алгоритм построения графиков квадратичных функций по точкам (1 способ).

Находим абсциссу вершины параболы по формуле х0 = - . Находим значение у0 по формуле у0 = - . На координатной плоскости строим вершину параболы с координатами (х0 ; у0). Определим направление ветвей параболы (по коэффициенту а). Проведем ось симметрии параболы через ее вершину, параллельно оси у. Выбираем значения х слева или справа от оси симметрии параболы и заполняет таблицу значений. Строим точки по полученным координатам на координатной плоскости. Строим график квадратичной функции без ограничений на крайних точках и подписываем график.

Я по данному алгоритму построю график у = х2 - 4х + 3

2. D = b2-4ас = (-= 4 у = - = .

4. а>0, ветви параболы направлены вверх.

5. Ось симметрии прямая х = 2.

6. Таблица значений

7.Строим точки с полученными координатами на координатной плоскости.

8 класс" href="/text/category/8_klass/" rel="bookmark">8 классе мы учились выделять в квадратных уравнениях полный квадрат. Елена Николаевна еще тогда говорила, что от этого зависит расположение графика на координатной плоскости. Я решила проверить: можно ли через выделение полного квадрата составить алгоритм построения графиков квадратичных функций на координатной плоскости.

Исследовала уравнения моих квадратичных функций с 18-33 и сравнила полученные формулы с вершинами построенных графиков:

18. у = х2+3х = (х2+2· 1,5·х +2,25) – 2,25 = (х+1,5) 2-2,25 а = 1 вершина (-1,5;-2,25)

19. у = - х2+3х = -1(х2-2 ·1,5 ·х +2,25) + 2,25 = -1(х – 1,5)2 +2,25 а = -1 вершина (1,5; 2,25)

20. у = 2х2+3х = 2(х2+2·0,75·х + 0,5625) -1,125 = 2(х+0,75)2 -1,125 а = 2

вершина (-0,75;-1,125)

21. у = -2х2+3х = -2(х2-2·0,75·х +0,5625)+1,125 =-2(х-0,75)2 +1,125 а = 2

вершина (0,75;1,125)

22. у = х2+3х = (х2 +2·3·х + 9) – 4,5= (х +3)2 -4,5 а =https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">х2+3х = -(х2 -2·3·х + 9) + 4,5= -(х -3)2 +4,5 а = -https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">х2+4х+15 =(х2 +2·6·х + 36) –18+15= (х +6)2 -3 а =https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">х2+6х-14 = -(х2 -2·6·х + 36) +18 -14= -(х -6)2 +4 а =https://pandia.ru/text/78/547/images/image001_112.gif" width="24" height="41">; n = -. То есть координаты вершины параболы (m ; n)

Алгоритм построения графика квадратичной функции с помощью вспомогательной системы координат через выделение полного квадрата (2 способ).

1.Преобразование формулы у=ах²+вх+с = у =а(х – m)2 + n , где m= -; n = -

или у = а (х + )2 -

2. Растяжение графика y = x 2 вдоль оси у в а раз при а>1, при 0 < a < 1 - это сжатие в a раз.
Если a < 0, произвести ещё и зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).
Результат преобразования: график функции у= ax 2.

https://pandia.ru/text/78/547/images/image020_21.jpg" width="147" height="193 src=">

y = a (x - m )2 вдоль оси y на n (вверх при n > 0 и вниз при n < 0). Результат преобразования: график функции y = a(x-m) 2+n

https://pandia.ru/text/78/547/images/image026_15.jpg" width="336" height="161 src=">

4. Параллельный перенос графика функции
y = - (x + 2)2 вдоль оси y на -1.

6 класс" href="/text/category/6_klass/" rel="bookmark">6 класс , . – Изд.4 –е.- М. Издательство “Русское слово”, 1997г. “Алгебра”. Учебник 9 класс. , . М. Просвещение, 2004г. “Математика” Еженедельная учебно-методическая газета. Издательский дом “Первое сентября”. № 48, 2003г. “Математика” Еженедельная учебно-методическая газета. Издательский дом “Первое сентября”. №7, 1998г. Тесты и экзаменационные задания по математике. Учебное пособие. , . – Издательский дом “Питер”, 2005 г. “Абсолютная величина”. . – М.: Просвещение, 1968. “Функции и построение графиков”. .- М.: Просвещение, 1968. “Задачи повышенной трудности в курсе алгебры для 7-9 классов”. . М.: Просвещение, 1991.

Квадратичная функция: её исследование и построение графика

Россия, Тюменская область, Юргинский район, с. Шипаково,

МОУ « Шипаковская основная общеобразовательная школа », ученица 9 класса.

План исследования

Обоснование проблемы. В контрольно - измерительных материалах по алгебре в 9 классе для прохождения государственной итоговой аттестации в новой форме выяснилось, что много заданий встречаются по построению графиков квадратичных функций, их исследованию. При построении графиков квадратичной функции возникает трудности из-за того, что при составлении таблицы значений при небольших, по модулю, значениях аргумента, значения функции иногда бывают очень большие, по модулю, и не входят на страницу тетради. Поэтому я решила исследовать: свойства квадратичной функции и от чего зависит расположение графиков квадратичных функций на координатной плоскости; изучить алгоритмы построения графиков данных функций и выбрать наиболее легкий алгоритм построения графика квадратичной функции.

Гипотеза:

Если я изучу свойства квадратичной функции, алгоритмы построения графиков, выявлю, от чего зависит расположение графиков на координатной плоскости, то я смогу быстро и правильно строить графики данной функции, выбрав наиболее легкий способ построения; исследовать данную функцию.

Описание метода:

1. Анализируя свои квадратичные функции я сделала вывод, что для проведения исследования свойств функций достаточно знать:

Значение а: для определения направлений ветвей параболы, сжатие и растяжение графиков, промежутков знакопостоянства;

Координаты вершин параболы: для определения области значений, промежутков монотонности, экстремумы функции;

Значение b: для определения четности, или ни четности, ни нечетности;

Значение дискриминанта: для определения количества нулей функций;

Если D < 0, то нулей функции нет;

Если D = 0, то нуль функции один – это вершина параболы;

Если D > 0, то нулей функции 2.

Нули функции: для определения промежутков знакопостоянства.

2. Работая над своей темой, я вывела свой способ построения графиков квадратичной функции (с помощью вспомогательной системы координат) по следующему алгоритму:

Определить вершину параболы. Построить вспомогательную систему координат с центром в точке вершины. Построить график у = х2 в точке вершины Если а › 0, то ветви направить вверх.

Если а ‹ 0, то ветви направить вниз.

Если IaI ›1, то растянуть график относительно оси симметрии в а раз

Если 0 ‹ IaI ‹1, то сжать график относительно оси симметрии в а раз

3. Построение графиков квадратичных функций удобно проводить различными способами. Если а = 1, координаты вершины целые числа, то с помощью вспомогательной системы координат. Если а ≠ 1, координаты вершины параболы не являются целыми числами, то способом: по точкам.

4. На уроках алгебры в 9 классе после выполнения данной исследовательской работы, я помогаю одноклассникам усвоить данные методы построения графиков квадратичных функций моими способами, проводить их исследование.

Результат:

В ходе исследовательской работы я составила алгоритм исследования свойств квадратичной функции и апробировала его на практике. Узнала, что квадратичные функции можно задать двумя способами: ах2+bх+с и а(х-m)+n. Научилась по 2 алгоритмам строить графики данных функций. Выявила, от чего зависит расположения графиков на координатной плоскости. Создала методическое пособие «Подводные камни квадратичной функции», которые раздала ученикам своей школы, презентовали другим школам. В дальнейшем планирую исследовать квадратичные функции, имеющие в формуле модуль.

Функция вида y =a*x^2+b*x+c, где a,b,c - некоторые вещественные числа, причем а отлично от нуля, а x,y - переменные, называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции y =a*x^2+b*x+c является линия, называемая в математике параболой . Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Стоит отметить, что если у функции коэффициент а>0, то парабола направлена ветвями вверх, а если аГрафик квадратичной функции симметричен относительно оси симметрии. Осью симметрии параболы служит прямая проведенная через точку x=(-b)/(2*a), параллельно оси Оу.

Координатами вершины параболы определяются по следующим формулам:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

На рисунке ниже представлен график произвольной квадратичной функции. Построение графика квадратичной функции . Также на рисунке отмечены вершина параболы и ось симметрии.

В зависимости от значения коэффициента а, вершина параболы будет являться минимальным или максимальным значением квадратичной функции. При a>0, вершина является минимальным значение квадратичной функции, при этом максимального значения не существует. При аОсь симметрии проходит через вершину параболы. Областью определения квадратичной функции является все множество вещественных чисел R.

Квадратичную функцию y =a*x^2+b*x+c всегда можно преобразовать к виду y=a*(x+k)^2+p, где k=b/(2*a), p=(4*a*c-b^2)/(4*a). Для этого необходимо выделить полный квадрат.

Обратите внимание, что точка с координатами (-k;p) будет являться вершиной параболы. График квадратичной функции y=a*(x+k)^2+p можно получить из графика функции y=a*x^2 с помощью параллельного переноса.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

Квадратичной функцией называется функция вида:
y=a*(x^2)+b*x+c,
где а - коэффициент при старшей степени неизвестной х,
b - коэффициент при неизвестной х,
а с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Рис.1 Общий вид параболы.

Есть несколько различных способов построения графика квадратичной функции. Мы рассмотрим основной и самый общий из них.

Алгоритм построения графика квадратичной функции y=a*(x^2)+b*x+c

1. Построить систему координат, отметить единичный отрезок и подписать координатные оси.

2. Определить направление ветвей параболы (вверх или вниз).
Для этого надо посмотреть на знак коэффициента a. Если плюс - то ветви направлены вверх, если минус - то ветви направлены вниз.

3. Определить координату х вершины параболы.
Для этого нужно использовать формулу Хвершины = -b/2*a.

4. Определить координату у вершины параболы.
Для этого подставить в уравнение Увершины = a*(x^2)+b*x+c вместо х, найденное в предыдущем шаге значение Хвершины.

5. Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Оу.

6. Найти точки пересечения графика с осью Ох.
Для этого требуется решить квадратное уравнение a*(x^2)+b*x+c = 0 одним из известных способов. Если в уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не пересекает ось Ох.

7. Найти координаты точки пересечения графика с осью Оу.
Для этого подставляем в уравнение значение х=0 и вычисляем значение у. Отмечаем эту и симметричную ей точку на графике.

8. Находим координаты произвольной точки А(х,у)
Для этого выбираем произвольное значение координаты х, и подставляем его в наше уравнение. Получаем значение у в этой точке. Нанести точку на график. А также отметить на графике точку, симметричную точке А(х,у).

9. Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки, до конца координатной оси. Подписать график либо на выноске, либо, если позволяет место, вдоль самого графика.

Пример построения графика

В качестве примера, построим график квадратичной функции заданной уравнением y=x^2+4*x-1
1. Рисуем координатные оси, подписываем их и отмечаем единичный отрезок.
2. Значения коэффициентов а=1, b=4, c= -1. Так как а=1, что больше нуля ветви параболы направлены вверх.
3. Определяем координату Х вершины параболы Хвершины = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Определяем координату У вершины параболы
Увершины = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Отмечаем вершину и проводим ось симметрии.
6. Находим точки пересечения графика квадратичной функции с осью Ох. Решаем квадратное уравнение x^2+4*x-1=0.
х1=-2-√3 х2 = -2+√3. Отмечаем полученные значения на графике.
7. Находим точки пересечения графика с осью Оу.
х=0; у=-1
8. Выбираем произвольную точку B. Пусть она имеет координату х=1.
Тогда у=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Соединяем полученные точки и подписываем график.