Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может как-то перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через общую ось z (рис

Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может как-то перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через общую ось z (рис. 99).

Все плоскости могут вращаться вокруг этой оси с одинаковой угловой скоростью ω.

Согласно формуле (11.6) тангенциальная составляющая скорости i-й точки может быть представлена в виде:

где R i - перпендикулярная к оси z составляющая радиус-вектора r i [ее модуль R i дает расстояние точки от оси z]. Подставив это значение v τ i в формулу (37.4), получим выражение для момента импульса точки относительно оси z:

[мы воспользовались соотношением (11.3); векторы R i , и ω взаимно перпендикулярны].

Просуммировав это выражение по всем точкам и вынеся общий множитель ω за знак суммы, найдем для момента импульса системы относительно оси z следующее выражение:

равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты их расстояний от оси z , называется моментом инерции системы материальных точек относительно оси z (отдельно взятое слагаемое представляет собой момент инерции i -й материальной точки относительно оси z ).

С учетом (38.2) выражение (38.1) принимает вид:

которое является основным уравнением динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением второго закона Ньютона:

В §35 мы уже отмечали, что абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции I z относительно фиксированной оси z есть величина постоянная. Следовательно, уравнение (38. 4) переходит для абсолютно твердого тела в уравнение:

(3 8.5)

где β=ω - угловое ускорение тела, М z , - результирующий момент внешних сил, действующих на тело.

Уравнение (38.5) похоже по форме на уравнение:

Сопоставив уравнения динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, легко заметить, что при вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы - момент инерции и т. д. (табл. 2)

Таблица 2

Поступательное движение	Вращательное движение
mw=f p=mv f – сила m – масса v – линейная скорость w – линейное ускорение p - импульс	I z β=M z L z =I z ω M и M z – момент силы I z – момент инерции ω – угловая скорость β – угловое ускорение L – момент импульса

Понятия момента силы и момента инерции были нами введены на основе рассмотрения вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что эти величины существуют безотносительно к вращению. Так, например, любое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от состояния своего движения. Момент силы также существует независимо от того, вращается тело вокруг оси, относительно которой берется момент, или покоится. В последнем случае момент рассматриваемой силы, очевидно, уравновешивается моментами других сил, действующих на тело.

Из уравнения (З8.5) вытекает, что при равенстве нулю результирующего момента всех внешних сил тело вращается с постоянной угловой скоростью. Если момент инерции тела может изменяться вследствие изменения взаимного расположения отдельных частей тела, при М z =0 остается постоянным произведение I z ω [см. (38.4) и изменение момента инерции I z влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости ω. Этим объясняется обычно демонстрируемое явление, заключающееся в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны, начинает вращаться медленнее, а, прижимая руки к туловищу, начинает вращаться быстрее.

Рассмотрим систему, состоящую из двух дисков, имеющих общую ось вращения (рис. 100).

Между приливами дисков поместим сжатую пружину и свяжем эти приливы ниткой. Если пережечь нить, то под действием разжавшейся пружины оба диска придут во вращение в противоположных направлениях. Моменты импульса, которые приобретут диски, будут равны по величине, но противоположны по направлению:

так что суммарный момент импульса системы останется по-прежнему равным нулю.

Подобным же образом обстоит дело и в случае изображенной на рис. 101 системы, состоящей из двух дисков с несовпадающими осями, укрепленными в раме, которая может свободно вращаться вокруг оси симметрии системы.

Если пережечь нить, стягивающую приливы на дисках, между которыми заложена сжатая пружина, диски придут во вращение, причем, как легко видеть, в одинаковом направлении. Одновременно рама начнет вращаться в противоположную сторону, так что полный момент импульса системы как целого останется равным нулю.

В обоих рассмотренных выше примерах вращение отдельных частей системы возникало под действием внутренних сил. Следовательно, внутренние силы, действующие между телами системы, могут вызвать изменения моментов импульса отдельных частей системы. Однако эти изменения будут всегда таковы, что суммарный момент импульса системы как целого остается без изменений. Полный момент импульса системы может изменяться только под воздействием внешних сил.

Динамика вращательного движения твердого тела.

Момент инерции.

Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент импульса.

Момент инерции.

(Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.)

При рассмотрении вращательного движения необходимо ввести новые физические понятия: момент инерции, момент силы, момент импульса.

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения равен произведению её массы на квадрат расстояния до рассматриваемой оси вращения (рис.1):

Зависит только от массы материальной точки и её положения относительно оси вращения и не зависит от наличия самого вращения.

Момент инерции - скалярная и аддитивная величина

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек

.

В случае непрерывного распределения массы эта сумма сводится к интегралу:

,

где - масса малого объема тела ,  плотность тела, - расстояние от элемента до оси вращения.

Момент инерции является аналогом массы при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить угловую скорость вращаемого тела. Момент инерции имеет смысл только при заданном положении оси вращения.

Бессмысленно говорить просто о “моменте инерции”. Он зависит:

1)от положения оси вращения;

2)от распределения массы тела относительно оси вращения, т.е. от формы тела и его размеров.

Экспериментальным доказательством этого является опыт со скатывающимися цилиндрами.

Произведя интегрирование для некоторых однородных тел, можно получить следующие формулы (ось вращения проходит через центр масс тела):

Момент инерции обруча (толщиной стенок пренебрегаем) или полого цилиндра:

Момент инерции диска или сплошного цилиндра радиуса R:

Момент инерции шара

Момент инерции стержня

Если для тела известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, находится по теореме Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции J 0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

где d расстояние от центра масс до оси вращения.

Центр масс - воображаемая точка, положение которой характеризует распределение массы данного тела. Центр масс тела движется так же, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, действующих на данное тело.

Понятие момента инерции было введено в механику отечественным ученым Л. Эйлером в середине XVIII века и с тех пор широко используется при решении многих задач динамики твердого тела. Значение момента инерции необходимо знать на практике при расчете различных вращающихся узлов и систем (маховиков, турбин, роторов электродвигателей, гироскопов). Момент инерции входит в уравнения движения тела (корабля, самолета, снаряда, и т.п.). Его определяют, когда хотят узнать параметры вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс при действии внешнего возмущения (порыва ветра и т.п.). Для тел переменной массы (ракеты) с течением времени изменяется масса и момент инерции.

2 .Момент силы.

Одна и та же сила может сообщать вращающемуся телу разные угловые ускорения в зависимости от её направления и точки приложения. Для характеристики вращающего действия силы вводят понятие момента силы.

Различают момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Моментом силы относительно точки О (полюса) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы:

Поясняющий это определение рис. 3 выполнен в предположении, что точка О и вектор лежат в плоскости чертежа, тогда вектор так же располагается в этой плоскости, а вектор  к ней и направлен от нас (как векторное произведение 2-х векторов; по правилу правого буравчика).

Модуль момента силы численно равен произведению силы на плечо:

где - плечо силы относительно точки О,  - угол между направлениями и, .

Плечо - кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вектор момента силы сонаправлен с поступательным движением правого буравчика, если его рукоятку вращать по направлению вращающего действия силы. Момент силы - аксиальный (свободный) вектор, он направлен вдоль оси вращения, не связан с определенной линией действия, его можно переносить в

пространстве параллельно самому себе.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется проекция вектора на эту ось (проходящую через точку О).

Если на тело действуют несколько сил, то результирующий момент сил относительно неподвижной оси Z равен алгебраической сумме моментов относительно этой оси всех сил, действующих на тело.

Если сила, приложенная к телу, не лежит в плоскости вращения, её можно разложить на 2 компоненты: лежащую в плоскости вращения и  к ней F n . Как видно из рисунка 4, F n вращения не создает, а приводит только к деформации тела; вращение тела обусловлено только составляющей F  .

Вращающееся тело можно представить как совокупность материальных точек.

Выберем произвольно некоторую точку с массой m i , на которую действует сила, сообщая точке ускорение (рис. 5). Поскольку вращение создает только тангенциальная составляющая, для упрощения вывода направлена перпендикулярно оси вращения.

В этом случае

Согласно второму закону Ньютона: . Умножим обе части равенства на r i ;

,

где - момент силы, действующей на материальную точку,

Момент инерции материальной точки.

Следовательно, .

Для всего тела: ,

т.е. угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту действующих на него внешних сил и обратно пропорционально его моменту инерции. Уравнение

(1) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, или второй закон Ньютона для вращательного движения.

3 . Момент импульса.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия.

Аналогом импульса является момент импульса. Понятие момента импульса также можно ввести относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси, однако в большинстве случаев его можно определить следующим образом. Если материальная точка вращается вокруг неподвижной оси, то её момент импульса относительно этой оси по модулю равен

где m i - масса материальной точки,

 i - её линейная скорость

r i - расстояние до оси вращения.

Т.к. для вращательного движения

где - момент инерции материальной точки относительно этой оси.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси равен сумме моментов импульсов всех его точек относительно этой оси:

где - момент инерции тела.

Т.о., момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость и сонаправлен с вектором угловой скорости.

Продифференцируем уравнение (2) по времени:

Уравнение (3) - ещё одна форма основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента

импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равна моменту внешних сил относительно той же оси

Это уравнение является одним из важнейших уравнений ракетодинамики. В процессе движения ракеты положение ее центра масс непрерывно изменяется, вследствие чего возникают различные моменты сил: лобового сопротивления, аэродинамической силы, сил создаваемых рулем высоты. Уравнение вращательного движения ракеты под действием всех приложенных к ней моментов сил совместно с уравнениями движения центра масс ракеты и уравнениями кинематики с известными начальными условиями позволяют определить положение ракеты в пространстве в любой момент времени.

В этой статье описывается важный раздел физики - "Кинематика и динамика вращательного движения".

Основные понятия кинематики вращательного движения

Вращательным движением материальной точки вокруг неподвижной оси называют такое движение, траекторией которого является окружность, находящаяся в плоскости перпендикулярной к оси, а центр ее лежит на оси вращения.

Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором по концентрическим (центры которых лежат на одной оси) окружностям движутся все точки тела в соответствии с правилом для вращательного движения материальной точки.

Пусть произвольное твердое тело T совершает вращения вокруг оси O, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберем на данном теле точку M. При вращении эта точка будет описывать вокруг оси O круг радиусом r .

Через некоторое время радиус повернется относительно исходного положения на угол Δφ.

За положительное направление поворота принято направление правого винта (по часовой стрелке). Изменение угла поворота со временем называется уравнением вращательного движения твердого тела:

φ = φ(t).

Если φ измерять в радианах (1 рад - это угол, соответствующий дуге, длиной равной ее радиусу), то длина дуги окружности ΔS, которую пройдет материальная точка M за время Δt, равна:

ΔS = Δφr.

Основные элементы кинематики равномерного вращательного движения

Мерой перемещения материальной точки за небольшой промежуток времени dt служит вектор элементарного поворота dφ .

Угловая скорость материальной точки или тела - это физическая величина, которая определяется отношением вектора элементарного поворота к продолжительности этого поворота. Направление вектора можно определить правилом правого винта вдоль оси О. В скалярном виде:

ω = dφ/dt.

Если ω = dφ/dt = const, то такое движение называется равномерное вращательное движение. При нем угловую скорость определяют по формуле

ω = φ/t.

Согласно предварительной формуле размерность угловой скорости

[ω] = 1 рад/с.

Равномерное вращательное движение тела можно описать периодом вращения. Период вращения T - физическая величина, определяющая время, за которое тело вокруг оси вращения выполняет один полный оборот ([T] = 1 с). Если в формуле для угловой скорости принять t = T, φ = 2 π (полный один оборот радиуса r), то

ω = 2π/T,

поэтому период вращения определим следующим образом:

T = 2π/ω.

Число оборотов, которое за единицу времени совершает тело, называется частотой вращения ν, которая равна:

ν = 1/T.

Единицы измерения частоты: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц.

Сравнивая формулы для угловой скорости и частоты вращения, получим выражение, связывающее эти величины:

ω = 2πν.

Основные элементы кинематики неравномерного вращательного движения

Неравномерное вращательное движение твердого тела или материальной точки вокруг неподвижной оси характеризует его угловая скорость, которая изменяется со временем.

Вектор ε , характеризующий скорость изменения угловой скорости, называется вектором углового ускорения:

ε = dω/dt.

Если тело вращается, ускоряясь, то есть dω/dt > 0 , вектор имеет направление вдоль оси в ту же сторону, что и ω.

Если вращательное движение замедлено - dω/dt < 0 , то векторы ε и ω противоположно направлены.

Замечание . Когда происходит неравномерное вращательное движение, вектор ω может меняться не только по величине, но и по направлению (при повороте оси вращения).

Связь величин, характеризующих поступательное и вращательное движение

Известно, что длина дуги с углом поворота радиуса и его величиной связана соотношением

ΔS = Δφ r.

Тогда линейная скорость материальной точки, выполняющей вращательное движение

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Нормальное ускорение материальной точки, что выполняет вращательно поступательное движение, определим следующим образом:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Итак, в скалярном виде

a = ω 2 r.

Тангенциальное ускоренной материальной точки, которая выполняет вращательное движение

a = ε r.

Момент импульса материальной точки

Векторное произведение радиуса-вектора траектории материальной точки массой m i на ее импульс называется моментом импульса этой точки касательно оси вращения. Направление вектора можно определить, воспользовавшись правилом правого винта.

Момент импульса материальной точки (L i ) направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через r i и υ i , и образует с ними правую тройку векторов (то есть при движении с конца вектора r i к υ i правый винт покажет направление вектора L i).

В скалярной форме

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Учитывая, что при движении по кругу радиус-вектор и вектор линейной скорости для i-й материальной точки взаимно перпендикулярные,

sin(υ i , r i) = 1.

Так что момент импульса материальной точки для вращательного движения примет вид

L = m i υ i r i .

Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

Векторное произведение радиуса-вектора, который проведен в точку приложения силы, на эту силу называется моментом силы, действующей на i-ю материальную точку относительно оси вращения.

В скалярной форме

M i = r i F i sin(r i , F i).

Считая, что r i sinα = l i , M i = l i F i .

Величина l i , равная длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на направление действия силы, называется плечом силы F i .

Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения записывается так:

M = dL/dt.

Формулировка закона следующая: скорость изменения момента импульса тела, которое совершает вращение вокруг неподвижной оси, равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, приложенных к телу.

Момент импульса и момент инерции

Известно, что для i-й материальной точки момент импульса в скалярной форме задается формулой

L i = m i υ i r i .

Если вместо линейной скорости подставить ее выражение через угловую:

υ i = ωr i ,

то выражение для момента импульса примет вид

L i = m i r i 2 ω.

Величина I i = m i r i 2 называется моментом инерции относительно оси i-й материальной точки абсолютно твердого тела, проходящей через его центр масс. Тогда момент импульса материальной точки запишем:

L i = I i ω.

Момент импульса абсолютно твердого тела запишем как сумму моментов импульса материальных точек, составляющих данное тело:

L = Iω.

Момент силы и момент инерции

Закон вращательного движения гласит:

M = dL/dt.

Известно, что представить момент импульса тела можно через момент инерции:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Учитывая, что угловое ускорение определяется выражением

ε = dω/dt,

получим формулу для момента силы, представленного через момент инерции:

M = Iε.

Замечание. Момент силы считается положительным, если угловое ускорение, которым он вызван, больше нуля, и наоборот.

Теорема Штейнера. Закон сложения моментов инерции

Если ось вращения тела через центр масс его не проходит, то относительно этой оси можно найти его момент инерции по теореме Штейнера:
I = I 0 + ma 2 ,

где I 0 - начальный момент инерции тела; m - масса тела; a - расстояние между осями.

Если система, которая совершает обороты округ неподвижной оси, состоит из n тел, то суммарный момент инерции такого типа системы будет равен сумме моментов, ее составляющих (закон сложения моментов инерции).

Твердое тело можно представить как совокупность материальных точек. При вращении тела все эти точки имеют одинаковые угловые скорости и ускорения. Используя результаты § 7.6, сравнительно несложно получить уравнение движения твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси.
Уравнение движения
Для вывода основного уравнения динамики вращательного движения можно поступить следующим образом. Разделить мысленно тело на отдельные, достаточно малые элементы, которые можно было бы рассматривать как материальные точки (рис. 7.33). Записать для каждого элемента уравнение (7.6.13), и все эти уравнения почленно сложить. При этом внутренние силы, действующие между отдельными элементами, в уравнение движения тела не войдут. Сумма их моментов в результате сложения уравнений окажется равной нулю, так как по третьему закону Ньютона силы взаимодействия равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Учитывая далее, что при вращении твердого тела все его точки совершают одинаковые угловые перемещения с одинаковыми скоростями и ускорениями, можно таким образом получить уравнение вращательного движения всего тела.
Однако вывод этого уравнения довольно громоздок, поэтому мы на нем останавливаться не будем. Тем более что это уравнение имеет такую же форму, что и уравнение (7.6.13) для материальной точки, движущейся по окружности:
О"
О"

(7.7.1)
d(J В этом уравнении JI
щих на тело относительно оси вращения.
Читается уравнение (7.7.1) так: производная по времени от момента импульса равна суммарному моменту внешних сил.
Следует иметь в виду, JITO вращение тела вокруг оси могут вызывать лишь силы Ft, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 7.34). Силы же Fk, направленные параллельно оси вращения, очевидно, способны вызвать лишь перемещение тела вдоль оси. Момент каждой силы Fl равен взятому со знаком плюс или минус произведению модуля этой силы на плечо d, т. е. на длину отрезка перпендикуляра, опу-щенного из точки С оси на линию действия силы Ft:
Mi = ±Ftd. (7.7.2)
Момент силы, вращающий тело вокруг данной оси против часовой стрелки, считается положительным, а по часовой стрелке - отрицательным.
Момент инерции тела
В формулу (7.7.1) входит момент инерции тела J. Момент инерции тела J равен сумме моментов инерции AJ- отдельных малых элементов, на которые можно разбить все тело:
(7.7.3)
і
Так как момент инерции материальной точки
AJ^Amtf, (7.7.4)
где Атпі - масса элемента тела, а г, - его расстояние до оси вращения (см. рис. 7.33), то
J = J A mtrf . (7.7.5)
385
13-Мякишев, 10 кл.
Момент инерции тела зависит не только от массы тела, но и от характера распределения этой массы. Чем больше вытянуто
Рис. 7.35
тело вдоль оси вращения, тем меньше его момент инерции, так как тем ближе к оси вращения расположены отдельные элементы тела. Очевидно также, что, изменив ось вращения тела, мы тем самым изменим и его момент инерции. У твердых тел момент инерции относительно данной оси - постоянная величина. Поэтому изменение момента импульса может происходить лишь за счет изменения угловой скорости. Соответственно уравнение (7.7.1) можно записать в виде:
jft = М. (7.7.6)
Читается это уравнение так: произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение тела равно сумме моментов (относительно той же оси) всех внешних сил, приложенных к телу.
Уравнение (7.7.6) показывает, что при вращении тела момент инерции играет роль массы, момент силы - роль силы, а угловое ускорение - роль линейного ускорения при движении материальной точки или центра масс.
В том, что угловое ускорение определяется действительно моментом силы, т. е. силой и плечом, а не просто силой, убедиться нетрудно. Так, раскрутить велосипедное колесо до одной и той же угловой скорости одной и той же силой (напри-мер, усилием пальца) можно гораздо быстрее, если прикладывать силу к ободу колеса (это создает больший момент), а не к спицам вблизи втулки (рис. 7.35).
Для того чтобы убедиться в том, что угловое ускорение определяется именно моментом инерции, а не массой тела, нужно иметь в распоряжении тело, форму которого можно легко изменять, не меняя массы. Велосипедное колесо здесь непригодно. Но можно воспользоваться своим собственным телом. Попробуйте закрутиться на пятке, оттолкнувшись от пола другой ногой. Если вы при этом прижмете руки к груди, то угловая скорость окажется большей, чем если вы раскинете руки в стороны. Эффект будет особенно заметным, если в обе руки взять по толстой книге.
Моменты инерции обруча и цилиндра
Найти момент инерции тела произвольной несимметричной формы довольно сложно. Проще его измерить опытным путем, чем вычислить.
Мы ограничимся вычислением момента инерции тонкого обруча, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр. Если масса колеса сосредоточена главным образом в его ободе (как, например, у велосипедного колеса), то такое колесо приближенно можно рассматривать как обруч, пренебрегая массой спиц и втулки.
Разобьем обруч на N одинаковых элементов. Если т - масса всего обруча, то масса каждого элемента Дmi = ^ . Толщину
обруча будем считать много меньшей ее радиуса (рис. 7.36). Если число элементов выбрать достаточно большим, то каждый элемент можно рассматривать как материальную точку. Поэтому момент инерции произвольного элемента с номером і будет равен:
Д Jt = Дт;Д2. (7.7.7)
Подставляя выражение (7.7.7) в формулу (7.7.5) для полного момента инерции, получим:
N
(7.7.8)
J= Д^Д miR2 = mR2.

Рис. 7.36
Здесь мы учли, что расстояние R для всех элементов одинаково и что сумма
масс элементов равна массе т об-
I
руча.
13*
387
Получился очень простой результат: момент инерции обруча равен произведению его массы на квадрат радиуса. Момент инерции обруча данной массы тем больше, чем больше его радиус. Формула (7.7.8) определяет также момент инерции
полого тонкостенного цилиндра при его вращении вокруг оси симметрии.
Вычисление момента инерции сплошного однородного цилиндра массой тп и радиусом R относительно его оси симметрии представляет более сложную задачу. Мы приведем лишь результат расчета: (7.7.9)
J =\ mR2. Следовательно, если сравнить моменты инерции двух цилиндров одинакового размера и массы, один из которых полый, а другой сплошной, то у второго цилиндра момент инерции будет в два раза меньше. Это связано с тем, что у сплошного цилиндра масса расположена в среднем ближе к оси вращения.
Мы познакомились с уравнением вращательного движения твердого тела. По форме оно похоже на уравнение для поступательного движения твердого тела. Дано определение новых физических величин, характеризующих твердое тело: момента инерции и момента импульса.

Билет1.

Световая волна. Интерференция световых волн.

Свет - в физической оптике электромагнитное излучение, воспринимаемое человеческим глазом. В качестве коротковолновой границы спектрального диапазона, занимаемого светом, принят участок сдлинами волн в вакууме 380-400 нм (750-790 ТГц), а в качестве длинноволновой границы - участок 760-780 нм (385-395 ТГц).В широком смысле, используемом вне физической оптики, светом часто называ

ют любое оптическое излучение, то есть такие электромагнитные волны, длины которых лежат в диапазоне с приблизительными границами от единиц нанометров до десятых долей миллиметра. В этом случае в понятие «свет» помимо видимого излучения включаются какинфракрасное, так и ультрафиолетовое излучения.Раздел физики, в котором изучается свет, носит название оптика .Свет может рассматриваться либо как электромагнитная волна, скорость распространения в вакууме которой постоянна, либо как поток фотонов - частиц, обладающих определённой энергией, импульсом, собственным моментом импульса и нулевой массой

Билет2

Билет №3

1. Кинематика вращательного движения. Связь между векторами v и ω.

вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси. Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с).
Таким образом, вектор ω определяет направление и быстроту вращения. Если ω=const , то вращение называется равномерным.
Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью υ произвольной точки А . Пусть за время Δt точка проходит по дуге окружности длину пути Δs . Тогда линейная скорость точки будет равна:

/////////////

При равномерном вращении его можно охарактеризовать периодом вращенияТ – временем, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π:

/////////////////

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

….....................

Откуда

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

////////////////////////(1.20)

Выразим тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки A вращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение:

////////////////(1.21)
/////////////////(1.22)

В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε=const ):

////////////////////////////

Где ω0 - начальная угловая скорость.Поступательное и вращательное движения твердого тела являются лишь простейшими типами его движения. В общем случае движение твердого тела может быть весьма сложным. Однако в теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.
Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений сведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

2. Уравнения Максвелла.06

Первую пару уравнений Максвелла образуют

Первое из этих уравнений связывает значения Е с временными изменениями вектора В и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. Второе уравнение отражает то свойство вектора В, что его линии замкнуты (или уходят в бесконечность)

//////////

Билет №4

Билет №5

Работа. Мощность.

Работой называется скалярная величина, равная произведению проекции силы на направление перемещения и пути s ,проходимого точкой приложения силыA  fs cos (1.53)Если сила и направление перемещения образуют острый угол (cosα>0), работа положительна. Если угол α – тупой (cosα<0),работа отрицательна. При α = π/2 работаравна нулю

Скалярное произведение двух векторов равно:AB  AB cos.Выражение для работы (1.54) можно записать в виде скалярного произведения

Где под Δs подразумевается вектор элементарного перемещения, который мы ранее обозначали через Δr. s  vt ////////////

Мощность W есть величина, равная отношению работы ΔА к промежутку времени Δt , за который она совершается:///////////////////////

Если работа меняется со временем, то вводится мгновенное значение мощности:///////////

Билет №6

Уравнения Максвелла.

2. Дифракция Френеля от простейших преград.

Билет №7

Билет№8

Билет №9

В состоянии равновесия

сила mg уравновешива ется упругой силой k Δl0 :

mg  k l 0 (1.129)

0 f  mg  k (l  x )

f  kx (1.130)

Силы такого вида принято

Называть квазиупругими

Амплитудой колебания.

Величина, стоящая в скобках под знаком

Начальной фазой колебания.

промежуток времени Т, за который фаза

колебания получает приращение, равное 2π

Циклической частотой.

0  2 (1.139)

Энергия гармонического

Колебания

Продифференцировав (1.135) по времени,

Совпадает со средним

значением Ep и равно Е/ 2.

Ток индукционным.

Величина индукционного тока определяется

лишь скоростью изменения Φ, т. е. значением

производной d Φ/d t. При изменении знака

Тока.

Явление электромагнитной

Индукции.

Привило Ленца гласит, что индукционный ток всегда

Его вызывающей.

Билет№10

Нуль

Разделив это выражение на L и заменив через

(2.188);

Заменяя ω0 по формуле (2.188), получим

Свободные затухающие

Колебания.

Уравнение колебаний можно получить, исходя из того,

имеет вид:

где ….

Подставляя значение (2.188) для ω0 и (2.196) для β,

Находим, что

Разделив (2.198) на емкость С , получим напряжение

на конденсаторе:

Билет№12

Сила Лоренца равна

Таким образом, движение

Радиус окружности, по

Которой происходит вращение

Определяется формулой

(2.184) с заменой v на v  = v

Шаг спирали l можно найти,

умножив v ║ на определяемый

Формулой (2.185) период

обращения Т :

…............

2. Поляризация при двойном лучепреломлении. Двойно́е лучепреломле́ние - эффект расщепления в анизотропных средах луча света на две составляющие. Впервые обнаружен датским ученымРасмусом Бартолином на кристалле исландского шпата. Если луч света падает перпендикулярно к поверхности кристалла, то на этой поверхности он расщепляется на два луча. Первый луч продолжает распространяться прямо, и называется обыкновенным (o - ordinary), второй же отклоняется в сторону, и называется необыкновенным (e - extraordinary). Направление колебания вектора электрического поля необыкновенного луча лежит в плоскости главного сечения (плоскости, проходящей через луч и оптическую ось кристалла). Оптическая ось кристалла - направление в оптически анизотропном кристалле, по которому луч света распространяется, не испытывая двойного лучепреломления.

Нарушение закона преломления света необыкновенным лучом связанно с тем, что скорость распространения света (а значит и показатель преломления) волн с такой поляризацией, как у необыкновенного луча, зависит от направления. Для обыкновенной волны скорость распространения одинакова во всех направлениях.

Можно подобрать условия, при которых обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются по одной траектории, но с разными скоростями. Тогда наблюдается эффект изменения поляризации. Например, линейно поляризованный свет, падающий на пластинку можно представить в виде двух составляющих (обыкновенной и необыкновенной волн), двигающихся с разными скоростями. Из-за разности скоростей этих двух составляющих, на выходе из кристалла между ними будет некоторая разность фаз, и в зависимости от этой разности свет на выходе будет иметь разные поляризации. Если толщина пластинки такова, что на выходе из неё один луч на четверть волны (четверть периода) отстаёт от другого, то поляризация превратится в круговую (такая пластинка называется четвертьволновой), если один луч от другого отстанет на пол волны, то свет останется линейно поляризованным, но плоскость поляризации повернётся на некоторый угол, значение которого зависит от угла между плоскостью поляризации падающего луча и плоскостью главного сечения (такая пластинка называется полуволновой).Качественно явление можно объяснить следующим образом. Из уравнений Максвелла для материальной среды следует, что фазовая скорость света в среде обратно пропорциональна величине диэлектрической проницаемостиε среды. В некоторых кристаллах диэлектрическая проницаемость - тензорная величина - зависит от направления электрического вектора, то есть от состояния поляризации волны, поэтому и фазовая скорость волны будет зависеть от ее поляризации. Согласно классической теории света, возникновение эффекта связано с тем, что переменное электромагнитное поле света заставляет колебаться электроны вещества, и эти колебания влияют на распространение света в среде, а в некоторых веществах заставить электроны колебаться проще в некоторых определённых направлениях.Искусственное двойное лучепреломление. Помимо кристаллов двойное лучепреломление наблюдается и визотропных средах, помещённых в электрическое поле (эффект Керра), в магнитное поле (эффект Коттона - Мутона, эффект Фарадея), под действием механических напряжений (фотоупругость). Под действием этих факторов изначально изотропная среда меняет свои свойства и становится анизотропной. В этих случаях оптическая ось среды совпадает с направлением электрического поля, магнитного поля, направлением приложения силы.Отрицательные кристаллы - одноосные кристаллы, в которых скорость распространения обыкновенного луча света меньше, чем скорость распространения необыкновенного луча. В кристаллографии Отрицательными кристаллами называют также жидкие включения в кристаллах, имеющие ту же форму, что и сам кристалл.Положительные кристаллы - одноосные кристаллы, в которых скорость распространения обыкновенного луча света больше, чем скорость распространения необыкновенного луча.

Билет№13

Излучение диполя.06

Называется элементарным

Дипольный электрический

Момент такой системы равен

p  ql cost n  pm cost , (2.228)

где l – удвоенная амплитуда

Ленный вдоль оси диполя,

pm = ql n

Волновой фронт в так называемой волновой зоне, т. е.

Зависимость

Интенсивности волны от

угла θ изображается с

Помощью диаграммы

Направленности диполя

(рис. 246).

Энергия, излучаемая по всем направлениям в

Излучения.

Билет№14

Данной точке.

Отрицателен

Осью диполя.

Найдем напряжен-

Ность поля на оси

Диполя, а также на

Прямой, проходя-

Щей через центр

Диполя и перпен-

Дикулярной к его

оси (рис. 4).

Положение точек

Будем характеризо-

Вать их расстояни-

ем r от центра дипо-

ля. Напомним, что

r >> l .

На оси диполя векторы Е+ и Е– имеют противополож-

Следует, что

….........

Билет№15

Энергия

Физическая величина, характеризующая

Скоростью и,

во-вторых, нахождением тела в

Потенциальном поле сил.

Энергия первого вида называется

Вектора v.

Умножив на m числитель и знаменатель,

уравнение (1.65) можно переписать как:

Кинетической энергии

…..........

A  T 2 T1 (1.67)

Потенциальная энергия

Тел, образующих систему

…...........

Закон сохранения энергии

E  E 2  E 1  A н. к. (1.72)

Для системы из N тел, между которыми

Линия напряженности.

Поток вектора напряженности

Густота линий выбирается так, чтобы количество

Вектора Е.

Линии Е точечного заряда представляют собой

радиальные прямые.

Следовательно, полное число линий N равно

Если площадка dS ориентирована так, что нормаль к

ней образует с вектором Е угол α, то количество

Нормали к площадке

численно равно

…..........

где выражение для Ф называется потоком вектора Е

В тех местах, где вектор Е

Объем, охватываемых поверх-

ностью), Еn и соответственно d Ф

будут отрицательны (рис. 10)

Теорема Гаусса

Можно показать, что, как и для сферической

Билет№16

Изменения.

Инерциальные системы

Отсчета

Система отсчета, в которой выполняется

Неинерциальной.

Примером инерциальной системы

Инерциальной

Групповая скорость - это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» - то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии и информации квазисинусоидальной волной (хотя это утверждение в общем случае требует серьёзных уточнений и оговорок).

Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля итп). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближенно).

Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии:

,

где - угловая частота, - волновое число.

Групповая скорость волн в пространстве (например, трехмерном или двумерном) определяется градиентомчастоты по волновому вектору :

Замечание: групповая скорость вообще говоря зависит от волнового вектора (в одномерном случае - от волнового числа), то есть вообще говоря различна для разной величины и для разных направлений волнового вектора.

Билет№17

Работа сил

Электростатического поля

….......

…........

…........

мы учли, что

….....

Отсюда для работы на пути 1–2 получаем

Следовательно, силы, действующие на заряд q" в

поле неподвижного заряда q , являются

потенциальными.

где El – проекция вектора Е на направление

элементарного перемещения d l

Циркуляцией по контуру.

Таким образом, для электростатического

Потенциал.

Для разных пробных значений q′ отношение

Wp/qпр будет постоянным

ведичина φ ─ называется потенциалом поля

Электрических полей

Из 225 и226 получаем

С учетом (2.23) получаем

….......

Для потенциальной энергии заряда q′ в поле

Отдельности

Из 226 вытекает что

Средах

Однородном веществе

Примеры мутных сред:

– дым (мельчайшие твердые частицы в газе)

– туман (капли жидкости в воздухе, газе)

– суспензия клеток

– эмульсия (дисперсная система, состоящая из

Другие виды энергии

Поглощающего вещества

….......

…........

….....

Билет№18

Второй закон Ньютона.02

Тела.

Связь между напряженностью

Направление r равна

Можно написать

Щении вдоль касательной к

поверхности τ на величину d τ

Потенциал не изменится, так

что φ/τ = 0. Но φ/τ равна

Циальной поверхности будет

Совпадать с направлением

Же точке.

Билет№19

Конденсаторы

Под емкостью конденсатора понимается физическая

величина, пропорциональная заряду q и обратно

Соединение конденсаторов

При параллельном соединении (рис. 50) на каждой из

Напряжение

Обкладках.

Поэтому напряжение на каждом из

конденсаторов:

Закон Кирхгофа.

Билет№20

Можно придать другой вид

…..............

Векторную величину

p  m v (1.44)

Закон сохранения импульса

Импульсом системы р называется

Образующих систему,

…....................

Центром тяжести системы.

Скорость центра инерции получается

путем дифференцирования rс по

времени:

.................

Учитывая, что mi vi есть рi , а Σрi дает

импульс системы р, можно написать

p  m v c(1.50)

Таким образом, импульс системы равен

Каждой из внутренних сил

По третьему закону

Ньютона можно написать fij

= – fji

Символом Fi обозначена

Результирующая внешних

сил, действующая на тело i

Уравнение (1.45)

…......

….........

…..........

Нулю, вследствие чего

Р постоянен

Постоянным

p  m vc (1.50)

Энергия системы зарядов.02

Рассмотрим систему из двух точечных зарядов q 1 и q 2,

находящихся на расстоянии r 12.

Работа переноса заряда q 1 из бесконечности в точку,

удаленную от q 2 на r 12 равна:

где φ 1 – потенциал, создаваемый зарядом q 2 в той

точке, в которую перемещается заряд q 1

Аналогично для второго заряда получим:

…........

Равна энергии трех зарядов

…...............

….....................

где φ1 – потенциал, создаваемый зарядами q 2 и q 3 в той

точке, где расположен заряд q 1 и т. д.

Добавляя к системе зарядов последовательно

q4, q 5 и т. д., можно убедиться в том, что в

случае N зарядов потенциальная энергия

Системы равна

где φi – потенциал, создаваемый в той точке,

где находится qi , всеми зарядами, кроме i -го.

Билет№21

Сила

Выражение (2.147) совпадает с (2.104), если положить

k = 1. Следовательно, в СИ закон Ампера имеет вид

df  i d lB (2.148)

df  iB dl sin (2.149)

Сила Лоренца

Согласно (2.148) на элемент тока d l действует в

магнитном поле сила

df  i d lB (2.150)

Заменив id l через S jdl [см. (2.111)], выражению закона

Ампера можно придать вид

df  Sdl jB  jBdV

где dV – объем проводника, к которому приложена

сила d f.

Разделив d f на dV , получим «плотность силы», т. е.

силу, действующую на единицу объема проводника:

f ед. об  jB (2.151)

Найдем, что

fед. об  ne "uB

Эта сила равна сумме сил, приложенных к носителям

в единице объема. Таких носителей n , следователь-

Важно отметить, что закон говорит только об общей излучаемой энергии. Распределение энергии по спектруизлучения описывается формулой Планка, в соответствии с которой в спектре имеется единственный максимум, положение которого определяется законом Вина.

Зако́н смеще́ния Ви́на даёт зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела. λmax = b /T ≈ 0,002898 м·К × T −1 (K),

где T - температура, а λmax - длина волны с максимальной интенсивностью. Коэффициент b , называемыйпостоянной Вина, в системе СИ имеет значение 0,002898 м·К.

Для частоты света (в герцах) закон смещения Вина имеет вид:

α ≈ 2,821439… - постоянная величина (корень уравнения ),

k - постоянная Больцмана,

h - постоянная Планка,

T - температура (в кельвинах).

Билет№22

Третий закон Ньютона.

Направлению.

f12  f21 (1.42)

Билет№23

Формула Планка.

Билет№24

Билет№25

Закон Джоуля – Ленца.

Фотоэффект.

Билет№26

Эффект Комптона.

Билет1.

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Это основное уравнение динамики вращательного движения тела: угловое ускорение вращающегося тела прямо пропорционально сумме моментов всех действующих на него сил относительно оси вращения тела и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси вращения. Полученное уравнение аналогично по форме записи выражению второго закона Ньютона для поступательного движения тела.

второй закон Ньютона для вращательного движения По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можнопереписать следующим образом с учетом (5.9) или

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.