चतुर्भुज कार्याचा आलेख पॅराबोला आहे. चतुर्भुज कार्याचा आलेख आणि गुणधर्म. वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

तरुण संशोधकांचा XIII प्रादेशिक वैज्ञानिक मंच

"भविष्यातील पाऊल - 2010"

संशोधन

चतुर्भुज कार्य: त्याचा अभ्यास आणि आलेख.

सामंजस्य करार "शिपाकोव्स्काया मुख्य"

सर्वसमावेशक शाळा "

पर्यवेक्षक:

गणिताचे शिक्षक

सामंजस्य करार "शिपाकोव्स्काया मुख्य"

सर्वसमावेशक शाळा "

रशियाचे संघराज्य

2010

थोडक्यात सारांश

हे संशोधन कार्य चतुर्भुज फंक्शन आणि त्याच्या गुणधर्मांबद्दल सामग्री सुलभ स्वरूपात सादर करते.

वेगवेगळ्या संरचनेच्या 33 चतुर्भुज कार्यांचे आलेख तयार केले गेले. डेटावर आधारित, एक संशोधन अल्गोरिदम संकलित केले गेले.

आलेख तयार करण्यासाठी दोन पद्धती सादर केल्या आहेत. आलेख तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम परिभाषित केले आहे.

शोधनिबंध लिहिताना, प्रकाशित साहित्य, प्रगत ग्राफर प्रोग्राम वापरला गेला आणि विविध आलेख तयार केले गेले. मी गेल्या शैक्षणिक वर्षात माझे संशोधन केले.

चतुर्भुज कार्य: त्याचा अभ्यास आणि आलेख

रशिया, ट्यूमेन प्रदेश, युर्गिन्स्की जिल्हा, गाव. शिपाकोवो,

महानगरपालिका शैक्षणिक संस्था "शिपाकोव्स्काया मूलभूत माध्यमिक शाळा", 9 व्या वर्गातील विद्यार्थी.

भाष्य

कामाचे ध्येय:चतुर्भुज फंक्शनच्या गुणधर्मांचा अभ्यास, समन्वय समतलावरील आलेखांच्या स्थानाची वैशिष्ट्ये, समन्वय समतलातील कार्यांचे आलेख तयार करण्यासाठी अल्गोरिदमचा अभ्यास.

कार्ये:

चतुर्भुज फंक्शनचे गुणधर्म एक्सप्लोर करा. समन्वय समतलातील या फंक्शन्सच्या आलेखांचे स्थान काय ठरवते ते ओळखा. चतुर्भुज कार्य तयार करण्यासाठी अल्गोरिदमचा अभ्यास करा. कोऑर्डिनेट प्लेनवर चतुर्भुज फंक्शन्सचे आलेख त्वरीत आणि योग्यरित्या तयार करण्यास शिका.

कामाच्या पद्धती आणि तंत्रे:

चतुर्भुज फंक्शन्सच्या आलेखांचा अभ्यास करणे, विशेष साहित्याचा अभ्यास करणे, इंटरनेटवर माहिती शोधणे, ADVANCED GRAPHER प्रोग्राम वापरून चतुर्भुज कार्यांचे आलेख तयार करणे.

प्राप्त केलेला डेटा:

चतुर्भुज फंक्शन्सच्या आलेखांचे स्थान a, b, c आणि भेदभावाच्या मूल्यावर अवलंबून असते. तुम्ही या फंक्शनचा आलेख दोन प्रकारे तयार करू शकता: बिंदूंनुसार, सहाय्यक समन्वय प्रणालीमध्ये पूर्ण चौरस निवडून.

निष्कर्ष:

1. जर a = 1 असेल, तर चतुर्भुज फंक्शनचा आलेख हा आलेख y = x2 आहे, बिंदूवर शिरोबिंदूसह y अक्षाच्या समांतर हस्तांतरित केला आहे (- ;-).

2. जर a>0 असेल तर पॅराबोलाच्या फांद्या वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात. जर ए<0, то ветви параболы направлены вниз.

3. चतुर्भुज फंक्शन्सच्या सर्व आलेखांमध्ये सममितीचा एक अक्ष असतो जो पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूमधून, y-अक्षाच्या समांतर किंवा जात असतो.

4. आलेखांचा अभ्यास करण्यासाठी, a चे मूल्य, शिरोबिंदूचे समन्वय आणि x-अक्षासह छेदनबिंदू जाणून घेणे पुरेसे आहे.

5. जर a=1, शिरोबिंदूचे निर्देशांक पूर्णांक असतील, तर सहायक समन्वय प्रणाली वापरून आलेख तयार करणे अधिक सोयीचे आहे. नसल्यास, बिंदूंनुसार आलेख तयार करा.

चतुर्भुज कार्य: त्याचा अभ्यास आणि आलेख

रशिया, ट्यूमेन प्रदेश, युर्गिन्स्की जिल्हा, गाव. शिपाकोवो,

संशोधन लेख

चतुर्भुज कार्यहे एक कार्य आहे जे फॉर्मच्या सूत्राद्वारे निर्दिष्ट केले जाऊ शकते

y =ax² + bx +c, कुठे a≠0.

मी प्रगत ग्राफर प्रोग्राम वापरून चतुर्भुज फंक्शन्सचे विविध आलेख प्लॉट करण्याचे ठरवले आणि ते एक्सप्लोर करायचे. मी चतुर्भुज फंक्शन्सची अनियंत्रित सूत्रे घेतली, संरचनेत भिन्न (या चतुर्भुज कार्यांची सूत्रे a, b, c च्या मूल्यांमध्ये एकमेकांपासून भिन्न आहेत). मी तयार केलेल्या आलेखांच्या पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूंच्या निर्देशांकांची आणि सूत्र (- ; -). मलाही भेदभावाची मूल्ये सापडली.

1. चतुर्भुज कार्य: y = x2(प्राथमिक चतुर्भुज कार्य: a=1, b=0, c=0). (परिशिष्ट 1)

b=0, c=0

2. चतुर्भुज कार्य: y = 3x2 (a>0, b=0, c=0) (परिशिष्ट 2)

3. चतुर्भुज कार्य: y = -3x2 (a<0, b=0, с=0) (Приложение 3)

4. चतुर्भुज कार्य: y = x2 (0<а <1, b=0, с=0) (Приложение 4)

5. चतुर्भुज कार्य: y = -x2 (0 >a >1, b=0, c=0) (परिशिष्ट 5)

चतुर्भुज फंक्शन्सचे आलेख ज्यासाठी a > 0,b=0

6. चतुर्भुज कार्य: y = x2+4 (a=1, b=0, c>0) (परिशिष्ट 6)

7. चतुर्भुज कार्य: y = x2-4 (a=1, b=0, c<0) (Приложение 7)

8. चतुर्भुज कार्य: y = 2x2+4 (a>1, b=0, c>0) (परिशिष्ट 8)

9. चतुर्भुज कार्य: y = 2x2-4 (a>1, b=0, c<0) (Приложение 9)

10. चतुर्भुज कार्य: y = x2+4 (0<а<1, b=0, с>0) (परिशिष्ट 10)

11. द्विघाती कार्य: y = x2-4 (0<а<1, b=0, с<0) (Приложение 11)

चतुर्भुज कार्यांचे आलेख ज्यासाठी a<0, b=0

12. चतुर्भुज कार्य: y = - x2+5 (a=-1, b=0, c>0) (परिशिष्ट 12)

13. द्विघाती कार्य: y = - x2-5 (a=-1, b=0, c<0) (Приложение 13)

14. द्विघाती कार्य: y = -2x2+5 (a<-1, b=0, с>0) (परिशिष्ट 14)

15. द्विघाती कार्य: y = -2x2-5 (a<-1, b=0, с<0) (Приложение 15)

16. चतुर्भुज कार्य: y = -x2+5 (0>a>-1, b=0, c>0) (परिशिष्ट 16)

17. चतुर्भुज कार्य: y = -x2-5 (0>a>-1, b=0, c<0) (Приложение 17)

ज्यासाठी चतुर्भुज कार्यांचे आलेखb≠0, s=0

18. चतुर्भुज कार्य: y = x2+3x (a=1, b≠0, c=0) (परिशिष्ट 18)

19. चतुर्भुज कार्य: y = - x2+3x (a=1, b≠0, c=0) (परिशिष्ट 19)

20. चतुर्भुज कार्य: y = 2x2+3x (a>1, b≠0, c=0) (परिशिष्ट 20)

21. द्विघाती कार्य: y = -2x2+3x (a<-1, b≠0, с=0) (Приложение 21)

22. द्विघाती कार्य: y = x2+3x (0<а<1, b≠0, с=0) (Приложение 22)

23. चतुर्भुज कार्य: y = -x2+3x (0>a>1, b≠0, c=0) (परिशिष्ट 23)

चतुर्भुज कार्यांचे आलेख ज्यासाठी a=1,b≠0, s≠0

24. चतुर्भुज कार्य: y = x2+4x-5 (a>0, b≠0, c≠0) (परिशिष्ट 24)

25. चतुर्भुज कार्य: y = x2+4x+5 (a>0, b≠0, c≠0) (परिशिष्ट 25)

26. चतुर्भुज कार्य: y = x2+4x+4 (a>0, b≠0, c≠0) (परिशिष्ट 26)

द्विघाती कार्यांचे आलेख ज्यासाठी a = -1,b≠0, s≠0

27. द्विघाती कार्य: y = - x2+4x+5 (a<0, b≠0, с≠0) (Приложение 27)

28. द्विघाती कार्य: y = - x2-4x-5 (a<0, b≠0, с≠0) (Приложение 28)

29. द्विघाती कार्य: y = - x2-4x-4 (a<0, b≠0, с≠0) (Приложение 29)

चतुर्भुज कार्यांचे आलेख ज्यासाठी a≠1,b≠0, s≠0

30. चतुर्भुज कार्य: y = 2x2+6x+5 (a>1, b≠0, c≠0) (परिशिष्ट 30)

31. चतुर्भुज कार्य: y = -2x2+6x+5 (a< -1, b≠0, с≠0) (Приложение 31)

द्विघाती फंक्शन्सचे आलेख ज्यात -1 आहे<а<1, b≠0, s≠0

32. चतुर्भुज कार्य: y = x2+6x+15 (0<а <1, b≠0, с≠0) (Приложение 32)

33. चतुर्भुज कार्य: y = -x2+6x>a > -1, b≠0, c≠0) (परिशिष्ट 33)

सर्व चतुर्भुज फंक्शन्सचा आलेख हा पॅराबोला आहे. जर a > 0 , नंतर पॅराबोलाच्या शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात. जर ए< 0, नंतर पॅराबोलाच्या शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात. पॅराबोलाचा शिरोबिंदू

y = ax² बिंदूवर (0;0); y = ax²+c बिंदूवर (0;c); y = ax²+in आणि y = ax²+in+c बिंदूवर (- ; -).

सममितीचा अक्षही एक सरळ रेषा आहे ज्याच्या सापेक्ष फंक्शनच्या आलेखावरील सर्व बिंदू सममितीने स्थित आहेत. चौकोन फंक्शन्सच्या सर्व आलेखांमध्ये शिरोबिंदूमधून जाणारा सममितीचा अक्ष असतो. y = ax² किंवा y = ax²+c या सूत्राने फंक्शन दिले असल्यास, सममितीचा अक्ष हा y-अक्ष असतो. जर फंक्शन y = ax²+ bx किंवा y = ax²+ bx+c या सूत्राने दिले असेल, तर सममितीचा अक्ष ही सरळ रेषा x = - आहे. .

आलेखांचे कॉम्प्रेशन आणि स्ट्रेचिंग.

कॉम्प्रेशन: फंक्शन ग्राफ y = аf(x) (ए> 1) फंक्शनचा आलेख ताणून मिळवला जातो y = f(x) अक्षाच्या बाजूने yव्ही एएकदा

स्ट्रेचिंग: फंक्शन ग्राफ y = аf(x) (0 < ए< 1) получается с помощью сжатия графика функции y = f(x) अक्षाच्या बाजूने yवेळेत.

चतुर्भुज फंक्शन्सचा आलेख, a = 1 सह, y = x2 चा आलेख आहे, y-अक्षाच्या समांतर शिरोबिंदू (- ;-). जर a = -1 असेल, तर ते सरळ रेषेच्या y = - च्या सापेक्ष सममितीय भाषांतरित केले जाते. (शिरोभागातून जाणारी सरळ रेषा, x-अक्षाच्या समांतर).

a > 1 साठी चतुर्भुज फंक्शन्सचा आलेख, b आणि c ची मूल्ये विचारात न घेता, आलेख y = x2 आहे, जो सममिती अक्षाच्या बाजूने ताणलेला आहे एवरपासून वेळा, ० वाजता एएकदा जर ए<0, а ≠-1, то графики помимо сжатия или растяжения еще и симметрично переносятся относительно прямой у = - .

भेदभावावर चतुर्भुज कार्याच्या आलेखाच्या स्थानाचे अवलंबन.

फंक्शनचे गुणधर्म आणि त्याच्या आलेखाचा प्रकार a आणि discriminant च्या मूल्याद्वारे निर्धारित केला जातो

D=b² - 4 एसी.

a > 0, डी > 0

a > 0, डी = 0

a > 0, डी < 0

https://pandia.ru/text/78/547/images/image007_45.gif" alt="parabola1" align="left" width="192 height=187" height="187">!}

a < 0, डी > 0

a < 0, डी = 0

a < 0, डी < 0

https://pandia.ru/text/78/547/images/image010_29.jpg" alt="parabola5" width="196" height="177">!}
चतुर्भुज कार्यांचे गुणधर्म

1. सर्व चतुर्भुज फंक्शन्सचे परिभाषेचे डोमेन असते: R, सर्व वास्तविक संख्या.

2. मूल्यांची श्रेणी a च्या मूल्यावर अवलंबून असते: जेव्हा a > 0 [-;+∞), सह a < 0 (-∞;- ] .

3. समता, चतुर्भुज कार्यांची विषमता: जेव्हा b= 0 फंक्शन सम आहे (म्हणजे, y = ax2+c= a(-x)2+c; सह b≠0, तर फंक्शन सम किंवा विषम नाही.

4. फंक्शनचे शून्य (म्हणजे, वितर्काच्या कोणत्या मूल्यांवर, फंक्शनचे मूल्य 0 आहे).

तर डी> 0, तर चतुर्भुज फंक्शनच्या आलेखामध्ये दोन शून्य आहेत: x1=; x2=

आणि फंक्शनचा आलेख x-अक्षाला 2 बिंदूंनी छेदतो.

तर डी= 0, तर चतुर्भुज कार्याच्या आलेखामध्ये एक शून्य आहे: x = -;

आणि फंक्शनचा आलेख बिंदूवर x-अक्षाला स्पर्श करतो (- ; 0)

तर डी < 0, то график квадратичной функции не имеет нулей, график не пересекает ось х.

5. स्थिर चिन्हाचे अंतराल (फंक्शनच्या व्याख्येच्या डोमेनमधील मध्यांतर, जेथे फंक्शन सकारात्मक किंवा नकारात्मक मूल्ये घेते, म्हणजे y>0 किंवा y<0).

जर a>0, D>0, तर y>0 साठी x(-∞; x1)उ( x2; + ∞); येथे<0 при хhttps://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13">(-∞;x)उ( x; +∞).

जर a>0, D<0, то у>0 येथे x https://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13 src="> (x1; x2); y<0 при х(-∞;x1)उ( x2; ∞).

जर ए<0, D =0, то у<0 при х (-∞;x)उ( x; ∞).

जर ए<0, D <0, то у<0 при х https://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13"> [-;+∞); x म्हणून कमी होते (-∞;- ].

जर ए<0, функция возрастает при х(-∞;-], x म्हणून कमी होते [- ;+∞).

7. फंक्शन एक्स्ट्रीमा (कमाल, किमान पॉइंट) कमाल (किमान) बिंदूंवर, फंक्शनचे मूल्य त्याच्या शेजारच्या सर्व मूल्यांपेक्षा मोठे (अनुक्रमे कमी) असते.

जर a >0 असेल, तर आलेखांमध्ये किमान फंक्शन्स असतील, जर a<0 – только максимум функций. Это точки вершины параболы.

तर a> 0, नंतर xमि = - ; yमि = -; तर a < 0 xकमाल = -; yकमाल = -.

चतुर्भुज कार्याच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करण्यासाठी अल्गोरिदम

डोमेन. मूल्यांची श्रेणी. सम किंवा विषम कार्य. कार्य शून्य. चिन्ह स्थिरतेचे अंतराल. नीरसपणाचे अंतराल. फंक्शनचा एक्स्ट्रामा.

माझ्या चतुर्भुज कार्यांचे आलेख विश्लेषण केल्यानंतर, मी संकलित केले बिंदूंनुसार चतुर्भुज कार्यांचे आलेख तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम (पद्धत 1).

x0 = - सूत्र वापरून पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचा abscissa शोधा. . y0 = - सूत्र वापरून y0 चे मूल्य शोधा. . कोऑर्डिनेट प्लेनवर आम्ही पॅराबोलाचा शिरोबिंदू निर्देशांक (x0; y0) सह तयार करतो. पॅराबोलाच्या शाखांची दिशा (अ गुणांकानुसार) ठरवू. पॅराबोलाच्या सममितीचा अक्ष त्याच्या शिरोबिंदूद्वारे y-अक्षाच्या समांतर काढू. पॅराबोलाच्या सममिती अक्षाच्या डावीकडे किंवा उजवीकडे x मूल्ये निवडा आणि मूल्यांची सारणी भरा. प्राप्त केलेल्या निर्देशांकांचा वापर करून आम्ही बिंदू तयार करतो. आम्ही चतुर्भुज फंक्शनचा आलेख अत्यंत बिंदूंवर निर्बंध न ठेवता तयार करतो आणि आलेखावर स्वाक्षरी करतो.

मी हा अल्गोरिदम वापरून तयार करेन आलेख y = x2 - 4x + 3

2. D = b2-4ac = (-= 4 y = - = .

4. a>0, पॅराबोलाच्या फांद्या वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात.

5. सममितीचा अक्ष सरळ रेषा x = 2 आहे.

6. मूल्यांची सारणी

7. कोऑर्डिनेट प्लेनवर प्राप्त निर्देशांकांसह बिंदू तयार करा.

8वी इयत्ता" href="/text/category/8_klass/" rel="bookmark">8वी इयत्तेमध्ये आम्ही चौकोनी समीकरणांमध्ये पूर्ण चौरस ओळखायला शिकलो. एलेना निकोलायव्हना नंतर म्हणाली की समन्वय समतलावरील आलेखाचे स्थान यावर अवलंबून असते हे. मी तपासायचे ठरवले: संपूर्ण चौरस निवडून समन्वय समतलावर चतुर्भुज फंक्शन्सचे आलेख तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम तयार करणे शक्य आहे का?

मी 18-33 पासून माझ्या चतुर्भुज कार्यांच्या समीकरणांचा अभ्यास केला आणि परिणामी सूत्रांची तुलना प्लॉट केलेल्या आलेखांच्या शिरोबिंदूंशी केली:

18. y = x2+3x = (x2+2 1.5 x +2.25) – 2.25 = (x+1.5) 2-2.25 a = 1 शिरोबिंदू (-1,5;-2,25)

19. y = - x2+3x = -1(x2-2 ·1.5 ·x +2.25) + 2.25 = -1(x – 1.5)2 +2.25 a = -1 शिरोबिंदू (1,5; 2,25)

20. y = 2x2+3x = 2(x2+2 0.75 x + 0.5625) -1.125 = 2(x+0.75)2 -1.125 a = 2

शिरोबिंदू (-0,75;-1,125)

21. y = -2x2+3x = -2(x2-2 0.75 x +0.5625)+1.125 = -2(x-0.75)2 +1.125 a = 2

शिरोबिंदू (0,75;1,125)

22. y = x2+3x = (x2 +2·3·x + 9) – 4.5= (x +3)2 -4.5 a =https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">x2+3x = -(x2 -2·3·x + ९) + ४.५= -(x -3)2 +4.5 a = -https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">x2+4x+15 =(x2 +2·6· x + 36) –18+15= (x +6)2 -3 a =https://pandia.ru/text/78/547/images/image004_61.gif" width="16 height=41" height="41">x2+6x-14 = -(x2 -2·6· x + 36) +18 -14= - (x -6)2 +4 a =https://pandia.ru/text/78/547/images/image001_112.gif" width="24" height="41">; n = - . म्हणजेच, पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे समन्वय (m; n)

पूर्ण चौरस (पद्धत 2) निवडून सहाय्यक समन्वय प्रणाली वापरून चतुर्भुज कार्याचा आलेख तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम.

1. सूत्र रूपांतरित करा y=ax²+in+c =y =a(x -मी) 2 +n, जेथे m= - ; n = -

किंवा y = a (x + )2 -

2. स्ट्रेचिंग शेड्यूल करा y = xअक्षाच्या बाजूने 2 येथेव्ही ए वेळा a>1 वाजता, 0 वाजता< a < 1 - это сжатие в aएकदा
तर a< 0, произвести ещё и зеркальное отражение графика относительно оси एक्स(पॅराबोलाच्या फांद्या खालच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातील).
परिवर्तन परिणाम: कार्य आलेख y=ax 2.

https://pandia.ru/text/78/547/images/image020_21.jpg" width="147" height="193 src=">

y = a(x - मी)2 अक्षाच्या बाजूने y n द्वारे (वर वर n> ० आणि खाली n < 0). Результат преобразования: график функции y = a(x-m) 2+n

https://pandia.ru/text/78/547/images/image026_15.jpg" width="336" height="161 src=">

4. फंक्शन आलेखाचे समांतर हस्तांतरण
y = - (x+ 2)2 अक्षाच्या बाजूने y-1 द्वारे.

6वी श्रेणी" href="/text/category/6_klass/" rel="bookmark">6वी श्रेणी, . - एड. 4 – e.- M. पब्लिशिंग हाउस “Russkoe Slovo”, 1997 “बीजगणित”. पाठ्यपुस्तक 9 वी इयत्ता. , M. Prosveshcheniye, 2004 “गणित” साप्ताहिक शैक्षणिक आणि पद्धतशीर वृत्तपत्र, प्रकाशन गृह “सप्टेंबरचा पहिला”, क्रमांक 48, 2003 “गणित” साप्ताहिक शैक्षणिक आणि पद्धतशीर वृत्तपत्र, प्रकाशन गृह “सप्टेंबरचा पहिला”, क्रमांक 7, 1998 गणितातील चाचण्या आणि परीक्षा कार्ये. अभ्यास मार्गदर्शक. , . - प्रकाशन गृह "पिटर", 2005. "संपूर्ण मूल्य".. - एम.: प्रोस्वेश्चेनी, 1968. "फंक्शन्स आणि ग्राफिंग". - एम.: प्रोस्वेश्चेनी, 1968. "ग्रेड 7-9 साठी बीजगणित अभ्यासक्रमात वाढलेल्या अडचणीच्या समस्या." एम.: प्रोस्वेश्चेनी, 1991.

चतुर्भुज कार्य: त्याचा अभ्यास आणि आलेख

रशिया, ट्यूमेन प्रदेश, युर्गिन्स्की जिल्हा, गाव. शिपाकोवो,

अभ्यास योजना

समस्येचे औचित्य.नवीन फॉर्ममध्ये राज्य अंतिम प्रमाणपत्र उत्तीर्ण करण्यासाठी 9 व्या इयत्तेतील बीजगणितावरील चाचणी आणि मापन सामग्रीमध्ये, असे दिसून आले की चतुर्भुज कार्यांचे आलेख तयार करणे आणि त्यांचा अभ्यास करणे यावर अनेक कार्ये आढळतात. चतुर्भुज फंक्शनचे आलेख तयार करताना, वितर्काच्या छोट्या मोड्युलो व्हॅल्यूजसाठी व्हॅल्यूज टेबल संकलित करताना, फंक्शन व्हॅल्यूज कधीकधी खूप मोठे मोड्यूलो असतात आणि नोटबुकमध्ये समाविष्ट नसतात या वस्तुस्थितीमुळे अडचणी उद्भवतात. पृष्ठ म्हणून, मी तपासण्याचे ठरविले: चतुर्भुज फंक्शनचे गुणधर्म आणि समन्वय समतलातील चतुर्भुज फंक्शन्सच्या आलेखांचे स्थान काय ठरवते; या फंक्शन्सचे आलेख तयार करण्यासाठी अल्गोरिदमचा अभ्यास करा आणि चतुर्भुज फंक्शनचा आलेख तयार करण्यासाठी सर्वात सोपा अल्गोरिदम निवडा.

गृहीतक:

जर मी चतुर्भुज फंक्शनच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केला, आलेख तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम, आणि समन्वय समतलावर आलेखांचे स्थान काय ठरवते ते ओळखले, तर मी सर्वात सोपी बांधकाम पद्धत निवडून या कार्याचे आलेख द्रुतपणे आणि योग्यरित्या तयार करू शकेन; हे कार्य एक्सप्लोर करा.

पद्धतीचे वर्णन:

1. माझ्या चतुर्भुज फंक्शन्सचे विश्लेषण करून, मी असा निष्कर्ष काढला की फंक्शन्सच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करण्यासाठी हे जाणून घेणे पुरेसे आहे:

मूल्य a: पॅराबोलाच्या शाखांच्या दिशा, आलेखांचे संकुचन आणि विस्तार, स्थिर चिन्हाचे अंतर निर्धारित करण्यासाठी;

पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूंचे निर्देशांक: मूल्यांची श्रेणी, मोनोटोनिसिटीचे अंतराल, फंक्शनचा टोकाचा भाग निर्धारित करण्यासाठी;

b चा अर्थ: सम, किंवा सम किंवा विषम नाही हे निर्धारित करणे;

भेदभाव मूल्य: फंक्शन्सच्या शून्यांची संख्या निर्धारित करण्यासाठी;

जर डी< 0, то нулей функции нет;

जर D = 0, तर फंक्शनचे शून्य एक आहे - हे पॅराबोलाचे शिरोबिंदू आहे;

जर D > 0 असेल, तर फंक्शनमध्ये 2 शून्य आहेत.

फंक्शनचे शून्य: स्थिर चिन्हाचे अंतर निर्धारित करण्यासाठी.

2. माझ्या विषयावर काम करत असताना, मी खालील अल्गोरिदम वापरून चतुर्भुज फंक्शनचे आलेख (सहायक समन्वय प्रणाली वापरून) तयार करण्यासाठी माझी स्वतःची पद्धत विकसित केली:

पॅराबोलाचा शिरोबिंदू ठरवा. शिरोबिंदू बिंदूवर केंद्रीत सहायक समन्वय प्रणाली तयार करा. शिरोबिंदूवर आलेख y = x2 तयार करा. a › 0 असल्यास, शाखांना वरच्या दिशेने निर्देशित करा.

जर ‹ 0 असेल, तर शाखा खालच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात.

जर IaI ›1 असेल, तर सममितीच्या अक्षाशी संबंधित आलेख एका वेळाने वाढवा

जर 0 ‹ IaI ‹ 1 असेल, तर सममिती अक्षाशी संबंधित आलेख घटकाने संकुचित करा

3. चतुर्भुज फंक्शन्सचे आलेख विविध प्रकारे तयार करणे सोयीचे आहे. जर a = 1, शिरोबिंदूचे निर्देशांक पूर्णांक असतील, तर सहायक समन्वय प्रणाली वापरून. जर ≠ 1, पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे निर्देशांक पूर्णांक नसतील, तर पद्धत: बिंदूंनुसार.

4. 9व्या इयत्तेतील बीजगणिताच्या धड्यांमध्ये, हे संशोधन कार्य पूर्ण केल्यानंतर, मी माझ्या वर्गमित्रांना माझ्या पद्धतींचा वापर करून चतुर्भुज कार्यांचे आलेख तयार करण्याच्या या पद्धती शिकण्यास आणि त्यांचे संशोधन करण्यास मदत करतो.

परिणाम:

माझ्या संशोधन कार्यादरम्यान, मी चतुर्भुज फंक्शनच्या गुणधर्मांचा अभ्यास करण्यासाठी एक अल्गोरिदम संकलित केला आणि सराव मध्ये त्याची चाचणी केली. मी शिकलो की चतुर्भुज कार्ये दोन प्रकारे परिभाषित केली जाऊ शकतात: ax2+bx+c आणि a(x-m)+n. मी 2 अल्गोरिदम वापरून या फंक्शन्सचे आलेख कसे तयार करायचे ते शिकलो. समन्वय समतलावरील आलेखांचे स्थान काय ठरवते ते मी शोधले. तिने एक पद्धतशीर मॅन्युअल "पिटफॉल्स ऑफ द क्वाड्रॅटिक फंक्शन" तयार केले, जे तिने तिच्या शाळेतील विद्यार्थ्यांना वितरित केले आणि इतर शाळांना सादर केले. भविष्यात मी फॉर्म्युलामध्ये मॉड्यूलस असलेल्या चतुर्भुज फंक्शन्सचा अभ्यास करण्याची योजना आखत आहे.

y =a*x^2+b*x+c या फॉर्मचे फंक्शन, जिथे a,b,c काही वास्तविक संख्या आहेत आणि a शून्य नसलेले आहेत आणि x,y व्हेरिएबल्स आहेत, त्यांना चतुर्भुज फंक्शन म्हणतात. y =a*x^2+b*x+c या चतुर्भुज फंक्शनचा आलेख ही गणितात रेषा म्हणतात. पॅराबोला. पॅराबोलाचे सामान्य दृश्यखालील आकृतीमध्ये सादर केले आहे.

हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की जर एखाद्या फंक्शनमध्ये a>0 गुणांक असेल तर पॅराबोला त्याच्या शाखांसह वरच्या दिशेने निर्देशित केला जातो आणि जर चतुर्भुज फंक्शनचा आलेख सममितीच्या अक्षाशी सममित असेल. पॅराबोलाच्या सममितीचा अक्ष म्हणजे ओय अक्षाच्या समांतर x=(-b)/(2*a) बिंदूमधून काढलेली सरळ रेषा आहे.

पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचे निर्देशांक खालील सूत्रांद्वारे निर्धारित केले जातात:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

खालील आकृती एका अनियंत्रित चतुर्भुज कार्याचा आलेख दाखवते. चतुर्भुज कार्याचा आलेख प्लॉटिंग. पॅराबोलाचा शिरोबिंदू आणि सममितीचा अक्ष देखील आकृतीमध्ये चिन्हांकित केला आहे.

गुणांक a च्या मूल्यावर अवलंबून, पॅराबोलाचा वरचा भाग चतुर्भुज कार्याचे किमान किंवा कमाल मूल्य असेल. जेव्हा a>0, शिरोबिंदू हे चतुर्भुज फंक्शनचे किमान मूल्य असते आणि कमाल मूल्य नसते. जेव्हा a, सममितीचा अक्ष पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूमधून जातो. चतुर्भुज फंक्शनच्या व्याख्येचे क्षेत्र म्हणजे वास्तविक संख्यांचा संपूर्ण संच R.

चतुर्भुज फंक्शन y =a*x^2+b*x+c नेहमी y=a*(x+k)^2+p या फॉर्ममध्ये रूपांतरित केले जाऊ शकते, जेथे k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). हे करण्यासाठी, आपल्याला संपूर्ण चौरस निवडण्याची आवश्यकता आहे.

कृपया लक्षात घ्या की निर्देशांक (-k;p) असलेला बिंदू पॅराबोलाचा शिरोबिंदू असेल. y=a*(x+k)^2+p या चतुर्भुज फंक्शनचा आलेख समांतर भाषांतर वापरून y=a*x^2 फंक्शनच्या आलेखावरून मिळवता येतो.

तुमच्या अभ्यासासाठी मदत हवी आहे?

मागील विषय:

चतुर्भुज फंक्शन हे फॉर्मचे कार्य आहे:
y=a*(x^2)+b*x+c,
जेथे a हा अज्ञात x च्या सर्वोच्च अंशासाठी गुणांक आहे,
b - अज्ञात x साठी गुणांक,
आणि c हा मुक्त सदस्य आहे.
चतुर्भुज कार्याचा आलेख एक वक्र आहे ज्याला पॅराबोला म्हणतात. पॅराबोलाचे सामान्य दृश्य खालील आकृतीमध्ये दर्शविले आहे.

अंजीर.1 पॅराबोलाचे सामान्य दृश्य.

चतुर्भुज फंक्शनचा आलेख काढण्याचे विविध मार्ग आहेत. आम्ही त्यापैकी मुख्य आणि सर्वात सामान्य पाहू.

चतुर्भुज कार्य y=a(x^2)+bx+c प्लॉट करण्यासाठी अल्गोरिदम

1. एक समन्वय प्रणाली तयार करा, एकक विभाग चिन्हांकित करा आणि समन्वय अक्षांना लेबल करा.

2. पॅराबोला शाखांची दिशा (वर किंवा खाली) निश्चित करा.
हे करण्यासाठी, तुम्हाला गुणांक a चे चिन्ह पहावे लागेल. जर प्लस असेल तर शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात, जर वजा असेल तर शाखा खालच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात.

3. पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचा x समन्वय निश्चित करा.
हे करण्यासाठी, तुम्हाला Xvertex = -b/2*a हे सूत्र वापरावे लागेल.

4. पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूवरील समन्वय निश्चित करा.
हे करण्यासाठी, X ऐवजी Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c या समीकरणात बदल करा, मागील चरणात आढळलेल्या Xverhiny चे मूल्य.

5. आलेखावर परिणामी बिंदू प्लॉट करा आणि त्याद्वारे सममितीचा अक्ष काढा, Oy समन्वय अक्षाच्या समांतर.

6. ऑक्स अक्षासह आलेखाच्या छेदनबिंदूचे बिंदू शोधा.
हे करण्यासाठी, तुम्हाला ज्ञात पद्धतींपैकी एक वापरून a*(x^2)+b*x+c = 0 हे द्विघात समीकरण सोडवावे लागेल. जर समीकरणाला वास्तविक मुळे नसतील, तर फंक्शनचा आलेख ऑक्स अक्षला छेदत नाही.

7. ओय अक्षासह आलेखाच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूचे समन्वय शोधा.
हे करण्यासाठी, आम्ही समीकरणामध्ये x=0 मूल्य बदलतो आणि y चे मूल्य काढतो. आम्ही ग्राफवर हे आणि त्यास सममितीय बिंदू चिन्हांकित करतो.

8. अनियंत्रित बिंदू A(x,y) चे समन्वय शोधा
हे करण्यासाठी, x समन्वयासाठी एक अनियंत्रित मूल्य निवडा आणि त्यास आमच्या समीकरणात बदला. या टप्प्यावर आपल्याला y चे मूल्य मिळते. आलेखावर बिंदू प्लॉट करा. आणि आलेखावर एक बिंदू देखील चिन्हांकित करा जो बिंदू A(x,y) ला सममित आहे.

9. आलेखावरील परिणामी बिंदू एका गुळगुळीत रेषेने कनेक्ट करा आणि आलेख अत्यंत बिंदूंच्या पलीकडे, समन्वय अक्षाच्या शेवटी सुरू ठेवा. आलेखाला लीडरवर लेबल लावा किंवा, जर जागा परवानगी देत असेल तर, आलेखासोबतच.

प्लॉटिंगचे उदाहरण

उदाहरण म्हणून, y=x^2+4*x-1 या समीकरणाने दिलेले चतुर्भुज फंक्शन प्लॉट करू.
1. समन्वय अक्ष काढा, त्यांना लेबल करा आणि एकक खंड चिन्हांकित करा.
2. गुणांक मूल्ये a=1, b=4, c= -1. a=1 पासून, जे शून्यापेक्षा मोठे आहे, पॅराबोलाच्या शाखा वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात.
3. पॅराबोला Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2 च्या शिरोबिंदूचा X समन्वय निश्चित करा.
4. पॅराबोलाच्या शिरोबिंदूचा समन्वय Y निश्चित करा
शिरोबिंदू = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. शिरोबिंदू चिन्हांकित करा आणि सममितीचा अक्ष काढा.
6. ऑक्स अक्षासह चतुर्भुज कार्याच्या आलेखाचे छेदनबिंदू शोधा. आपण x^2+4*x-1=0 हे द्विघात समीकरण सोडवतो.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. आम्ही प्राप्त केलेली मूल्ये आलेखावर चिन्हांकित करतो.
7. ओय अक्षासह आलेखाच्या छेदनबिंदूचे बिंदू शोधा.
x=0; y=-1
8. एक अनियंत्रित बिंदू B निवडा. त्यास x=1 समन्वय असू द्या.
नंतर y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. प्राप्त बिंदू कनेक्ट करा आणि आलेखावर स्वाक्षरी करा.

तुमच्या अभ्यासासाठी मदत हवी आहे?

चतुर्भुज कार्य y=a*(x^2)+b*x+c प्लॉट करण्यासाठी अल्गोरिदम

प्लॉटिंगचे उदाहरण

चतुर्भुज कार्य y=a(x^2)+bx+c प्लॉट करण्यासाठी अल्गोरिदम