Funktsiya grafigi y c. Funktsiyaning grafigini qanday chizish mumkin

1. Kasr chiziqli funksiya va uning grafigi

P(x) va Q(x) polinom bo‘lgan y = P(x) / Q(x) ko‘rinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi.

Ehtimol, siz ratsional sonlar tushunchasi bilan tanish bo'lgansiz. Xuddi shunday ratsional funktsiyalar ikki ko‘phadning bo‘limi sifatida ifodalanishi mumkin bo‘lgan funksiyalardir.

Agar kasrli ratsional funktsiya ikkita chiziqli funktsiyaning koeffitsienti bo'lsa - birinchi darajali polinomlar, ya'ni. shakl funktsiyasi

y = (ax + b) / (cx + d), keyin u kasr chiziqli deb ataladi.

y = (ax + b) / (cx + d) funktsiyasida c ≠ 0 (aks holda funktsiya chiziqli y = ax/d + b/d ga aylanadi) va a/c ≠ b/d (aks holda funktsiya doimiy). Chiziqli kasr funktsiyasi x = -d/c dan tashqari barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlanadi. Kasr chiziqli funksiyalarning grafiklari siz bilgan y = 1/x grafigidan shakli jihatidan farq qilmaydi. y = 1/x funksiyaning grafigi bo'lgan egri chiziq deyiladi giperbola. Mutlaq qiymatdagi x ning cheksiz o'sishi bilan y = 1/x funksiya mutlaq qiymatda cheksiz kamayadi va grafikning ikkala shoxlari ham abscissaga yaqinlashadi: o'ng tomon yuqoridan, chap tomon esa pastdan. Giperbolaning shoxlari yaqinlashadigan chiziqlar uning deyiladi asimptotlar.

1-misol.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Yechim.

Butun qismni tanlaymiz: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi o‘zgartirishlar orqali olinganligini ko‘rish oson: 3 birlik segmentga o‘ngga siljish, Oy o‘qi bo‘ylab 7 marta cho‘zish va 2 ga siljish. birlik segmentlari yuqoriga.

Har qanday kasr y = (ax + b) / (cx + d) "butun qism" ni ta'kidlab, shunga o'xshash tarzda yozilishi mumkin. Binobarin, barcha kasr chiziqli funksiyalarning grafiklari koordinata o'qlari bo'ylab turli yo'llar bilan siljigan va Oy o'qi bo'ylab cho'zilgan giperbolalardir.

Har qanday ixtiyoriy kasr-chiziqli funktsiyaning grafigini qurish uchun ushbu funktsiyani aniqlaydigan kasrni o'zgartirish umuman shart emas. Grafik giperbola ekanligini bilganimiz uchun uning shoxlari yaqinlashadigan to'g'ri chiziqlarni - x = -d/c va y = a/c giperbolaning asimptotalarini topish etarli bo'ladi.

2-misol.

y = (3x + 5)/(2x + 2) funksiya grafigining asimptotalarini toping.

Yechim.

Funktsiya aniqlanmagan, x = -1 da. Demak, x = -1 to'g'ri chiziq vertikal asimptota vazifasini bajaradi. Gorizontal asimptotani topish uchun x argumenti mutlaq qiymatga oshganda y(x) funksiyaning qiymatlari qanday yondashishini aniqlaylik.

Buning uchun kasrning soni va maxrajini x ga bo'ling:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

X → ∞ sifatida kasr 3/2 ga moyil bo'ladi. Bu gorizontal asimptota y = 3/2 to'g'ri chiziq ekanligini anglatadi.

3-misol.

y = (2x + 1)/(x + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Kasrning "butun qismini" tanlaymiz:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi oʻzgartirishlar orqali olinganligini koʻrish oson: chapga 1 birlikka siljish, Oxga nisbatan simmetrik displey va quyidagi oʻzgartirishlar. Oy o'qi bo'ylab 2 birlik segment yuqoriga.

Domen D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Qiymatlar diapazoni E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

O'qlar bilan kesishish nuqtalari: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktsiya aniqlanish sohasining har bir oralig'ida ortadi.

Javob: 1-rasm.

2. Kasr ratsional funksiya

y = P(x) / Q(x) ko'rinishdagi kasrli ratsional funktsiyani ko'rib chiqaylik, bu erda P(x) va Q(x) birinchidan yuqori darajali polinomlardir.

Bunday ratsional funktsiyalarga misollar:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) yoki y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Agar y = P(x) / Q(x) funksiya ikki darajali ko‘phadning birinchisidan yuqori bo‘linmasini ifodalasa, uning grafigi, qoida tariqasida, murakkabroq bo‘ladi va ba’zan uni to‘g‘ri qurish qiyin bo‘lishi mumkin. , barcha tafsilotlar bilan. Biroq, ko'pincha biz yuqorida tanishtirganlarga o'xshash usullardan foydalanish kifoya.

Kasr to'g'ri kasr bo'lsin (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Shubhasiz, kasr ratsional funktsiyaning grafigi elementar kasrlar grafiklarining yig'indisi sifatida olinishi mumkin.

Kasrli ratsional funksiyalarning grafiklarini tuzish

Kasrli ratsional funktsiyaning grafiklarini qurishning bir necha usullarini ko'rib chiqamiz.

4-misol.

y = 1/x 2 funksiya grafigini chizing.

Yechim.

y = 1/x 2 grafigini qurish uchun y = x 2 funksiya grafigidan foydalanamiz va grafiklarni “bo‘lish” texnikasidan foydalanamiz.

Domen D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

E(y) = (0; +∞) qiymatlar diapazoni.

O'qlar bilan kesishish nuqtalari yo'q. Funktsiya teng. Barcha x uchun (-∞; 0) oraliqdan ortadi, x uchun 0 dan +∞ gacha kamayadi.

Javob: 2-rasm.

5-misol.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Domen D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Bu erda chiziqli funktsiyani faktorizatsiya qilish, kamaytirish va kamaytirish texnikasidan foydalandik.

Javob: 3-rasm.

6-misol.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Ta'rif sohasi D(y) = R. Funktsiya juft bo'lgani uchun grafik ordinataga nisbatan simmetrikdir. Grafikni qurishdan oldin, keling, butun qismini ajratib ko'rsatib, ifodani yana o'zgartiramiz:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

E'tibor bering, kasr ratsional funktsiya formulasida butun son qismini ajratib olish grafiklarni qurishda asosiylaridan biridir.

Agar x → ±∞ bo'lsa, u holda y → 1, ya'ni. y = 1 to'g'ri chiziq gorizontal asimptotadir.

Javob: 4-rasm.

7-misol.

y = x/(x 2 + 1) funksiyani ko'rib chiqamiz va uning eng katta qiymatini aniq topishga harakat qilamiz, ya'ni. grafikning o'ng yarmidagi eng yuqori nuqta. Ushbu grafikni to'g'ri tuzish uchun bugungi bilim etarli emas. Shubhasiz, bizning egri chiziq juda baland "ko'tarilishi" mumkin emas, chunki maxraj tezlik bilan hisoblagichni "quvib o'tishni" boshlaydi. Funktsiyaning qiymati 1 ga teng bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqamiz. Buning uchun x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 tenglamasini yechishimiz kerak. Bu tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q. Bu bizning taxminimiz noto'g'ri ekanligini anglatadi. Funksiyaning eng katta qiymatini topish uchun A = x/(x 2 + 1) tenglama qaysi eng katta A bo‘yicha yechimga ega bo‘lishini aniqlash kerak. Dastlabki tenglamani kvadratik tenglamaga almashtiramiz: Ax 2 – x + A = 0. Bu tenglama 1 – 4A 2 ≥ 0 bo‘lganda yechimga ega. Bu yerdan A = 1/2 eng katta qiymatni topamiz.

Javob: 5-rasm, max y(x) = ½.

Hali ham savollaringiz bormi? Funksiyalarni qanday grafik qilishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Ta'rif: Raqamli funksiya deganda berilgan to‘plamdagi har bir x sonni bitta y soni bilan bog‘laydigan moslik tushuniladi.

Belgilash:

Bu erda x - mustaqil o'zgaruvchi (argument), y - bog'liq o'zgaruvchi (funktsiya). X qiymatlari to'plami funktsiya sohasi deb ataladi (D(f) bilan belgilanadi). Y ning qiymatlari to'plami funktsiya qiymatlari diapazoni deb ataladi (E(f) bilan belgilanadi). Funksiya grafigi - koordinatalari (x, f(x)) bo'lgan tekislikdagi nuqtalar to'plami.

Funktsiyani belgilash usullari.

analitik usul (matematik formuladan foydalangan holda);
jadval usuli (jadval yordamida);
tavsiflash usuli (og'zaki tavsifdan foydalangan holda);
grafik usul (grafik yordamida).

Funksiyaning asosiy xossalari.

1. Juft va toq

Agar funktsiya chaqiriladi
– funksiyaning aniqlanish sohasi nolga nisbatan simmetrikdir
f(-x) = f(x)

Juft funksiya grafigi o‘qga nisbatan simmetrikdir 0y

Funksiya agar toq deb ataladi
– funksiyaning aniqlanish sohasi nolga nisbatan simmetrikdir
– ta’rif domenidan istalgan x uchun f(-x) = –f(x)

Toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir.

2. Chastotasi

f(x) funksiya aniqlanish sohasidan istalgan x uchun davriy deyiladi f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Davriy funktsiyaning grafigi cheksiz takrorlanadigan bir xil bo'laklardan iborat.

3. Monotonlik (o‘sish, kamayish)

Agar bu to‘plamdagi har qanday x 1 va x 2 bo‘lsa, f(x) funksiyasi P to‘plamda ortib bormoqda, shunda x 1 bo‘ladi.

f(x) funksiya P to‘plamda kamayadi, agar bu to‘plamdan istalgan x 1 va x 2 bo‘lsa, x 1 f(x 2) bo‘ladi.

4. Ekstremal

Agar X max ning ba'zi qo'shnilaridan barcha x uchun f(x) f(X max) tengsizlik qanoatlansa, X max nuqtasi f(x) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi.

Y max =f(X max) qiymati bu funksiyaning maksimali deyiladi.

X max - maksimal nuqta
Maksimal - maksimal

X min nuqta f(x) funksiyaning minimal nuqtasi deyiladi, agar X min ning qaysidir qo‘shniligidagi barcha x uchun f(x) f(X min) tengsizlik bajarilsa.

Y min =f(X min) qiymati bu funksiyaning minimali deyiladi.

X min - minimal nuqta
Y min – minimal

X min , X max – ekstremum nuqtalar
Y min , Y max - ekstremal.

5. Funksiyaning nollari

y = f(x) funksiyaning noli funksiya nolga aylanadigan x argumentining qiymati: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – y = f(x) funksiyaning nollari.

“Funksiyaning asosiy xossalari” mavzusidagi topshiriq va testlar

Funktsiya xususiyatlari - Sonli funksiyalar 9-sinf
Darslar: 2 Topshiriqlar: 11 Testlar: 1
Logarifmlarning xossalari - Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar 11-sinf
Darslar: 2 Topshiriqlar: 14 Testlar: 1
Kvadrat ildiz funksiyasi, uning xossalari va grafigi - Kvadrat ildiz funksiyasi. Kvadrat ildizning xossalari 8-sinf
Darslar: 1 Topshiriqlar: 9 Testlar: 1
Funksiyalar - Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonini ko'rib chiqish uchun muhim mavzular
Vazifalar: 24
Quvvat funksiyalari, ularning xossalari va grafiklari - Darajalar va ildizlar. Quvvat funktsiyalari 11-sinf
Darslar: 4 Topshiriqlar: 14 Testlar: 1

Ushbu mavzuni o'rganib chiqqandan so'ng, siz turli xil funktsiyalarning ta'rif sohasini topishingiz, grafiklar yordamida funktsiyaning monotonlik intervallarini aniqlashingiz va funktsiyalarni juftlik va toqlik uchun tekshirishingiz kerak. Keling, quyidagi misollar yordamida shunga o'xshash muammolarni hal qilishni ko'rib chiqaylik.

Misollar.

1. Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

Yechim: funksiyaning aniqlanish sohasi shartdan topiladi

shuning uchun f(x) funksiya juftdir.

Javob: hatto

D(f) = [-1; 1] – nolga yaqin simmetrik.

demak, funksiya juft ham, toq ham emas.

Javob: na tekis, na notekis.

Funksiya grafigi funksiyaning koordinata tekisligidagi xatti-harakatlarining vizual tasviridir. Grafiklar funksiyaning o‘zidan aniqlab bo‘lmaydigan funksiyaning turli tomonlarini tushunishga yordam beradi. Siz ko'p funktsiyalarning grafiklarini qurishingiz mumkin va ularning har biriga ma'lum formulalar beriladi. Har qanday funktsiyaning grafigi ma'lum bir algoritm yordamida quriladi (agar siz ma'lum bir funktsiyaning grafigini chizishning aniq jarayonini unutgan bo'lsangiz).

Qadamlar

Chiziqli funktsiyaning grafigini tuzish

Funktsiyaning chiziqli ekanligini aniqlang. Chiziqli funktsiya shakl formulasi bilan berilgan F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) yoki y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(masalan, ) va uning grafigi to'g'ri chiziqdir. Shunday qilib, formulaga bitta o'zgaruvchi va bitta doimiy (doimiy) ko'rsatkichlar, ildiz belgilari va shunga o'xshashlarsiz kiradi. Agar shunga o'xshash turdagi funksiya berilgan bo'lsa, bunday funktsiyaning grafigini tuzish juda oddiy. Bu erda chiziqli funktsiyalarning boshqa misollari:

Y o'qidagi nuqtani belgilash uchun doimiydan foydalaning. Konstanta (b) grafikning Y o'qini kesib o'tuvchi nuqtaning "y" koordinatasidir.Ya'ni "x" koordinatasi 0 ga teng bo'lgan nuqtadir.Demak, formulada x = 0 o'rniga qo'yilgan bo'lsa. , keyin y = b (doimiy). Bizning misolimizda y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) doimiy 5 ga teng, ya'ni Y o'qi bilan kesishgan nuqta koordinatalariga (0,5) ega. Bu nuqtani koordinata tekisligida chizing.

Chiziqning qiyaligini toping. U o'zgaruvchining ko'paytmasiga teng. Bizning misolimizda y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)"x" o'zgaruvchisi bilan 2 omil mavjud; demak, qiyalik koeffitsienti 2 ga teng. Nishab koeffitsienti to'g'ri chiziqning X o'qiga og'ish burchagini aniqlaydi, ya'ni qiyalik koeffitsienti qanchalik katta bo'lsa, funksiya shunchalik tez ortadi yoki kamayadi.

Nishabni kasr shaklida yozing. Burchak koeffitsienti qiyalik burchagi tangensiga, ya'ni vertikal masofaning (to'g'ri chiziqdagi ikki nuqta orasidagi) gorizontal masofaga (bir xil nuqtalar orasidagi) nisbatiga tengdir. Bizning misolimizda qiyalik 2 ga teng, shuning uchun vertikal masofa 2 va gorizontal masofa 1 ekanligini aytishimiz mumkin. Buni kasr shaklida yozing: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Nishab salbiy bo'lsa, funktsiya pasayadi.

To'g'ri chiziq Y o'qini kesishgan nuqtadan vertikal va gorizontal masofalar yordamida ikkinchi nuqtani chizing. Ikki nuqta yordamida chiziqli funktsiyaning grafigini tuzish mumkin. Bizning misolimizda Y o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalariga ega (0,5); Shu nuqtadan boshlab, 2 bo'shliqni yuqoriga va keyin 1 bo'shliqni o'ngga siljiting. Nuqtani belgilang; uning koordinatalari (1,7) bo'ladi. Endi siz to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.

O'lchagich yordamida ikkita nuqtadan to'g'ri chiziq o'tkazing. Xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun uchinchi nuqtani toping, lekin ko'p hollarda grafik ikkita nuqta yordamida chizilishi mumkin. Shunday qilib, siz chiziqli funktsiyani chizdingiz.

Koordinata tekisligida nuqtalarni chizish

Funktsiyani aniqlang. Funktsiya f(x) bilan belgilanadi. “y” o‘zgaruvchisining barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari funksiya sohasi, “x” o‘zgaruvchisining barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari esa funksiya sohasi deb ataladi. Masalan, y = x+2, ya'ni f(x) = x+2 funksiyasini ko'rib chiqaylik.

Ikkita kesishuvchi perpendikulyar chiziq chizing. Gorizontal chiziq X o'qi Vertikal chiziq Y o'qi.

Koordinata o'qlarini belgilang. Har bir o'qni teng segmentlarga ajrating va ularni raqamlang. O'qlarning kesishish nuqtasi 0. X o'qi uchun: musbat sonlar o'ngga (0 dan), manfiy raqamlar esa chapga chiziladi. Y o'qi uchun: musbat raqamlar tepada (0 dan), manfiy raqamlar esa pastda joylashgan.

“x” qiymatlaridan “y” qiymatlarini toping. Bizning misolimizda f(x) = x+2. Tegishli y qiymatlarini hisoblash uchun ushbu formulaga o'ziga xos x qiymatlarini qo'ying. Agar murakkab funktsiya berilgan bo'lsa, tenglamaning bir tomonidagi "y" ni ajratib, uni soddalashtiring.

-1: -1 + 2 = 1
0: 0 +2 = 2
1: 1 + 2 = 3

Nuqtalarni koordinata tekisligida chizing. Har bir juft koordinata uchun quyidagilarni bajaring: X o'qi bo'yicha mos keladigan qiymatni toping va vertikal chiziqni (nuqta) chizing; Y o'qi bo'yicha mos keladigan qiymatni toping va gorizontal chiziqni (chiziq chiziq) torting. Ikki nuqta chiziqning kesishish nuqtasini belgilang; Shunday qilib, siz grafikdagi nuqtani chizdingiz.

Nuqtali chiziqlarni o'chiring. Grafikdagi barcha nuqtalarni koordinata tekisligida chizgandan keyin buni bajaring. Eslatma: f(x) = x funksiyaning grafigi koordinata markazidan [koordinatalari (0,0) bo'lgan nuqta] orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq; f(x) = x + 2 grafigi f(x) = x chiziqqa parallel, lekin ikki birlikka yuqoriga siljigan va shuning uchun (0,2) koordinatali nuqtadan o'tuvchi chiziqdir (chunki doimiy 2). .

Murakkab funktsiyaning grafigini tuzish

Funktsiyaning nollarini toping. Funktsiyaning nollari x o'zgaruvchining qiymatlari bo'lib, bu erda y = 0 bo'ladi, ya'ni bu grafik X o'qini kesib o'tadigan nuqtalardir.Yodda tutingki, barcha funktsiyalarda nolga ega emas, lekin ular birinchisidir. har qanday funktsiyani grafikalash jarayonidagi qadam. Funksiyaning nollarini topish uchun uni nolga tenglashtiring. Masalan:

Gorizontal asimptotalarni toping va belgilang. Asimptot - bu funksiya grafigi yaqinlashadigan, lekin hech qachon kesishmaydigan chiziq (ya'ni, bu mintaqada funksiya aniqlanmagan, masalan, 0 ga bo'linganda). Asimptotani nuqta chiziq bilan belgilang. Agar "x" o'zgaruvchisi kasrning maxrajida bo'lsa (masalan, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), maxrajni nolga qo'ying va "x" ni toping. Olingan "x" o'zgaruvchining qiymatlarida funktsiya aniqlanmagan (bizning misolimizda x = 2 va x = -2 orqali nuqtali chiziqlar torting), chunki siz 0 ga bo'linmaysiz. Ammo asimptotlar nafaqat funksiya kasr ifodasini o'z ichiga olgan hollarda mavjud. Shuning uchun sog'lom fikrdan foydalanish tavsiya etiladi:

Bir nechta nuqtalarning koordinatalarini toping va ularni koordinata tekisligida chizing. Tegishli y qiymatlarini topish uchun bir nechta x qiymatlarini tanlang va ularni funksiyaga ulang. Keyin koordinata tekisligidagi nuqtalarni chizing. Funktsiya qanchalik murakkab bo'lsa, shuncha ko'p nuqtalarni topishingiz va chizishingiz kerak. Ko'pgina hollarda, x = -1 o'rniga; x = 0; x = 1, lekin agar funktsiya murakkab bo'lsa, boshlang'ichning har bir tomonida uchta nuqtani toping.
- Funktsiya bo'lsa y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6) quyidagi x qiymatlarini kiriting: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Siz etarli miqdordagi ball olasiz.
- X qiymatlaringizni oqilona tanlang. Bizning misolimizda salbiy belgi muhim emasligini tushunish oson: x = 10 va x = -10 da "y" qiymati bir xil bo'ladi.
Agar nima qilishni bilmasangiz, y qiymatlarini (va shuning uchun nuqtalarning koordinatalarini) topish uchun funktsiyaga turli xil x qiymatlarini kiritishdan boshlang. Nazariy jihatdan funksiya grafigi faqat shu usul yordamida tuzilishi mumkin (agar, albatta, cheksiz xilma-xil “x” qiymatlari almashtirilsa).

Milliy tadqiqot universiteti

Amaliy geologiya kafedrasi

Oliy matematika bo'yicha referat

Mavzu bo'yicha: "Asosiy elementar funktsiyalar,

ularning xossalari va grafiklari"

Bajarildi:

Tekshirildi:

o'qituvchi

Ta'rif. y=a x formula bilan berilgan funksiya (bu yerda a>0, a≠1) asosi a bo‘lgan ko‘rsatkichli funksiya deyiladi.

Eksponensial funktsiyaning asosiy xossalarini tuzamiz:

1. Ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar to'plami (R).

2. Diapazon - barcha musbat haqiqiy sonlar to'plami (R+).

3. a > 1 uchun funksiya butun son chizig‘i bo‘ylab ortadi; 0 da<а<1 функция убывает.

4. Umumiy shakl funksiyasi hisoblanadi.

, xO [-3;3] oraliqda

y(x)=x n ko‘rinishdagi funksiya, bu yerda n OR soni bo‘lib, daraja funksiyasi deyiladi. n soni turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin: ham butun, ham kasr, ham juft, ham toq. Bunga qarab quvvat funktsiyasi boshqa shaklga ega bo'ladi. Quvvat funksiyasi bo'lgan va bu turdagi egri chiziqning asosiy xossalarini quyidagi tartibda aks ettiruvchi maxsus holatlarni ko'rib chiqamiz: quvvat funksiyasi y=x² (juft darajali funktsiya - parabola), quvvat funktsiyasi y=x³ (toq darajali funktsiya). - kub parabola) va y=√x funksiyasi (x ½ darajasiga) (kasr ko'rsatkichli funktsiya), manfiy butun ko'rsatkichli funktsiya (giperbola).

Quvvat funktsiyasi y=x²

1. D(x)=R – funksiya butun son o‘qda aniqlanadi;

2. E(y)= va oraliqda ortadi

Quvvat funktsiyasi y=x³

1. y=x³ funksiyaning grafigi kubik parabola deyiladi. y=x³ quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

2. D(x)=R – funksiya butun son o‘qda aniqlanadi;

3. E(y)=(-∞;∞) – funksiya oʻzining taʼrif sohasidagi barcha qiymatlarni oladi;

4. x=0 y=0 bo‘lganda – funksiya O(0;0) koordinatalarining boshi orqali o‘tadi.

5. Funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.

6. Funktsiya g'alati (boshiga nisbatan simmetrik).

, xO [-3;3] oraliqda

X³ oldidagi raqamli omilga qarab, funktsiya tik/tekis va ortib/kamayuvchi bo'lishi mumkin.

Manfiy butun ko'rsatkichli quvvat funktsiyasi:

Agar n ko'rsatkichi toq bo'lsa, unda bunday daraja funksiyasining grafigi giperbola deb ataladi. Butun sonli manfiy darajali quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Har qanday n uchun D(x)=(-∞;0)U(0;∞);

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), agar n toq son bo’lsa; E(y)=(0;∞), agar n juft son boʻlsa;

3. Agar n toq son bo'lsa, funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi; funktsiya (-∞;0) intervalda ortadi va (0;∞) oraliqda kamayadi, agar n juft son bo'lsa.

4. Agar n toq son bo lsa, funksiya toq (koordinata boshiga nisbatan simmetrik); funktsiya n juft son bo'lsa ham.

5. Funksiya agar n toq son bo‘lsa (1;1) va (-1;-1) nuqtalardan, agar n juft son bo‘lsa (1;1) va (-1;1) nuqtalardan o‘tadi.

, xO [-3;3] oraliqda

Kasr darajali quvvat funksiyasi

Kasr ko'rsatkichli quvvat funksiyasi (rasm) rasmda ko'rsatilgan funktsiyaning grafigiga ega. Kasr ko'rsatkichli quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega: (rasm)

1. D(x) OR, agar n toq son va D(x)= bo‘lsa
, xO oralig'ida
, xO [-3;3] oraliqda

y = log a x logarifmik funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Aniqlanish sohasi D(x)O (0; + ∞).

2. E(y) qiymatlar diapazoni O (- ∞; + ∞)

3. Funksiya juft ham, toq ham emas (umumiy shaklda).

4. Funksiya a > 1 uchun (0; + ∞) oraliqda ortadi, 0 uchun (0; + ∞) kamayadi.< а < 1.

y = log a x funksiya grafigini y = a x funktsiya grafigidan y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriya o'zgartirish yordamida olish mumkin. 9-rasmda a > 1 uchun logarifmik funktsiyaning grafigi va 0 uchun 10-rasm ko'rsatilgan.< a < 1.

; xO oralig'ida

y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi.

y = sin x, y = tan x, y = ctg x funksiyalar toq, y = cos x funksiya esa juft.

y = sin(x) funksiyasi.

1. Ta'rif sohasi D(x) OR.

2. E(y) qiymatlar diapazoni O [ - 1; 1].

3. Funksiya davriy; asosiy davr 2p.

4. Funktsiya toq.

5. Funksiya [ -p/2 + 2pn oraliqlarida ortadi; p/2 + 2pn] va [p/2 + 2pn] oraliqlarida kamayadi; 3p/2 + 2pn], n O Z.

y = sin (x) funksiyaning grafigi 11-rasmda keltirilgan.